极限总结

极限

极限存在充要条件

左右极限存在且相等

个人理解

在x->\(x_0\)的过程中，x是不等于\(x_0\)的，且不要理解x = \(x_0\) ，因为是去心领域，领域和区间不一样，领域是很小的一段范围

• 什么是邻域
  • 如：\(x_0的领域\)那么存在很小的\(\delta\)>0，领域就是(\(x_0 -\delta\), \(x_0 + \delta\)),那么去心领域就是不包括\(x_0\)这一点，
  • 
  • 那么再去心领域中，有无限个点靠近\(x_0\),
• 这里用数列极限举例
  • \(\lim_{n->\infty}x_n = a <=>\lim_{k->\infty}x_{2k-1} = \lim_{k->\infty}x_{2k} = a\)
  • 什么不论是\(2k-1\)还是\(2k\),极限都是a，这个例子说明两种情况，第一，极限包含再领域的所有范围这里是奇数偶数，第二极限是再领域附近有无限个点靠近

求极限什么能先算

• 第一种：首先是极限存在且不为令如\(f(x) = A \neq 0\)那么\(\frac{f(x)(A - B)}{c}\)这种，不是局部加减，而是乘以整体且存在不为零，那么可以直接先算

• 极限存在，\(\lim f(x) = A, \lim g(x) = B\),那么\(\lim f(x) + g(x) = \lim f(x) + \lim g(x) = A + B\)

  • 举例极限不存在如\(\lim_{x - >0}\frac{tanx - sinx}{x^3}\) 这里\(\lim_{x->0}\frac{tanx}{x^3}\)不存在，\(\lim_{x->0}\frac{sin}{x^3}\)不存在，所以不能直接这样拆分算
  • 举例极限存在\(\lim_{x->0}\frac{x\arcsin x+1 - \cos x}{x^2}\),这里\(\frac{x\arcsin x}{x^2}, \frac{1-\cos x}{x^2}\)都存在那么直接拆分就完事，
  • \(lim_{x->0}\frac{x\arcsin x}{x^2}+ \lim_{x->0}\frac{1-\cos x}{x^2}\)