定积分

表示意义

求的是值，一元就是求面积

可爱因子

如定积分\(\int_0^1f(x)dx\)存在，那可将[0,1]区间n等分，此时\(\Delta x_i = \frac {1}{n},取\xi_i = \frac{i}{n}\),由定积分的定义得，

\[\int_0^1f(x)dx = \lim_{\lambda->0}\sum_{i = 1}^nf(\xi_t)\Delta x_i = \lim_{n->\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n}) \]

这里的\(\frac{1}{n}\)叫做可爱因子，大概意思就是在区间[0,1]上分成n端每段长\(\frac{1}{n}\)

定积分存在充分条件

• 若f(x)在[a,b]上连续，则\(\int_a^{b}f(x)dx\)必定存在，
• 若f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则\(\int_a^bf(x)存在\)
• 如果在[a,b]上只有有限个第一类间断点，那么也存在

定积分几何意义

• 首先表示图像面积
• 面积在x下面就是负数，否则为正
• 注意这里的面积为正负，是严格的积分上下大于积分下限

中值定理

• 若f(x)在[a,b]上连续，则

\[\int_a^bf(x)dx = f(\xi)(b-a),(a < \xi < b) \]

常称为\(\frac{1}{b - a}\int_a^bf(x)dx为函数y=f(x)在区间[a,b]上的平均值，\)

• 若f(x),g(x)在[a,b]上连续，g(x)不变号，则

\[\int_a^bf(x)g(x)dx = f(\xi)\int_a^bg(x)dx \]

定积分几种计算

牛顿莱布利兹