不定积分

表示意义

求的是原函数

原函数存在定理

• 当f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上一定存在原函数
  • 做边上限积分求导\((\int_a^xf(x)dx)'=f(x)\)
• 若f(x)在区间上有第一类间断点，则f(x)在区间上没有原函数

推导

由表示意义可知道，求的是原函数，那么判断原函数是否存在，往往是看函数是不是连续函数，

• 第一类间断点不是原函数

\(f(x) = sgnx\begin{cases} -1,x<0\\ 0,x= 0\\ 1,x>0 \end{cases}\)

\(F(x)=\begin{cases} -x+C_1, x<0\\ x+C_2, x>0 \end{cases}\),由于F(x)在X = 0处连续性质可知\(C_1 = C_2 =C\)

\(F(x)= \begin{cases} -x+C, x<0\\ x+C,x \geq 0\\ \end{cases}=|x| +C\),F(x)在x=0处不可导，则g(x)没有原函数，
首先f(x)已经存在，但是F(x)却不可导只能说没有原函数

上面可以参考函数连续原函数可导

不定积分几个有趣性质

• \((\int f(x)dx = f(x))' = (F(x) + c)'\) 常数导数为零
• \(d(\int f(x)dx) = f(x)dx 这里用到了微分dy = f'(x)dx => d(\int f(x)dx) = (F(x) + c)'dx = f(x)dx\)
• \(\int f'(x)dx = f(x)+C\)
• \(\int df(x) = \int f'(x)dx = f(x) +C\)
• \(\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx\)
• \(\int kf(x)dx = k\int f(x)dx，(k为常数)\)

三种积分方法

第一类换元

这种个人看书就是一种配凑
前置知识，\(u = \alpha(x) = x^2, f(u) = u^2 这里求f'(u)\)

那么带入复合函数导数为内导*外导，\(f'(u) = (u^2)' * u' = 4x^3\)
下面为为什么积分复合积分为内导乘以外导数 f(u) = x^4 \(f'(u) =4x^3\)

end

有了前面的知识，那么\(\int {f(x)}du = F(u) + C,u = \varphi(x)\)存在连续导数前面的知识，导数连续，原函数存在
\(\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx = \int f[\varphi(x)]d\varphi(x) = F[\varphi(x)] + C\) 这里\(\varphi'(x)dx = d\varphi(x)\)其实用到是微分方法

总结：为什么难做，首先是这需要大量的公式，和平时做题的积累，才能准确看出是否可以配凑

第二换元法

• \(\sqrt{a^2 - x^2} 令 x = asint(或者acost)\)
• 被积函数中有\(\sqrt {a^2 + x^2} 令 x = atant\)
• 被积函数中有\(\sqrt {x^2 - a^2}令x = a sect\)
• 这里注意\(sec^2x - 1这种关系\)

分部积分法

前置知识：
有式子是u,v关于x的函数
\((uv)' = u'v + v'u\)，

对两边同时积分\(\int (uv)'dx = \int u'vdx + \int v'udx\),其中这里用到了微分公式\(u'dx = du, v'dx=dv\)，变形得到

\[\int udv = uv - \int vdu \]

常见的变形

\(P_n(x)为x的n次多项式\)
对于

• \(\int P_n(x)e^{\alpha x}dx,\int P_n(x)sin \alpha xdx, \int P_n(x)cos \alpha xdx\),将多项式外的式子提进去
• \(\int e^{\alpha x}sin\beta xdx, \int e^{\alpha x}cos\beta x dx\)这种都可以，但是将e这提进去更加简单
• \(\int P_n(x)\ln x dx,P_n(x)\arctan xdx,\int P_n(x)\arcsin xdx\)这种将多项式凑进去，为什么，你能知道多少导数位lnx？，so..该怎么做自己明白了吧！