导数的应用

单调性

极值

最值

凹凸性质

渐近线

• 水平渐近线
  • $\lim_{x->\infty} f(x) = A$,
• 铅直渐近线
  • $\lim_{x->x_0}f(x) = \infty$
• $\Delta$斜渐近线
  • $\lim_{x->\infty}\frac{f(x)}{x} = a$且$\lim_{x-> \infty}{f(x) - ax} = b$那么直线 y= ax + b就是y=f(x)的斜渐近线

曲率与弧微分

之前专业没学，完全是背公式，

弧微分

上图当ds无限小，那么就有

$ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}$

$ds = \sqrt{1 + y'}dx$
即使出题是参数方程，或者极坐标方程，带入公式就行
y= f(x),在区间（a,b）上有连续的导数，那么$ds = \sqrt{1+(y')^2}dx$

曲率

意义：表示曲线的弯曲程度，曲率大弯曲程度越大，
下图

在A与A'点斜率为0，那么角度改变了$\alpha_1 和\alpha_2$
，$\Delta s$相同，那么平均K

$$K = \frac {|\Delta \alpha|}{\Delta s}$$

当A和B无限接近，可以用微分表示$K = \frac {d \alpha}{ds}$, 有用完$y' = tan \alpha$那么$\alpha = arctan(y')$两边对x微分，
$d\alpha = \frac{1}{1+(y')^2} * y''dx =>$ $d\alpha = \frac{|y''|}{1+(y')^2}dx$,

$ds参考弧微分$

$$K = \frac {|\frac {y''}{1+(y')^2}dx|}{\sqrt{1+(y')^2}dx} = \frac{|y''|}{(1+(y')^2)^{\frac{3}{2}}}$$

曲率半径

用圆拟合曲率

$$圆半径R = \frac {1}{K}$$