导数的应用
单调性
极值
最值
凹凸性质
渐近线
- 水平渐近线
- \(\lim_{x->\infty} f(x) = A\),
- 铅直渐近线
- \(\lim_{x->x_0}f(x) = \infty\)
- \(\Delta\)斜渐近线
- \(\lim_{x->\infty}\frac{f(x)}{x} = a\)且\(\lim_{x-> \infty}{f(x) - ax} = b\)那么直线 y= ax + b就是y=f(x)的斜渐近线
曲率与弧微分
之前专业没学,完全是背公式,
弧微分
上图当ds无限小,那么就有
\(ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}\)
\(ds = \sqrt{1 + y'}dx\)
即使出题是参数方程,或者极坐标方程,带入公式就行
y= f(x),在区间(a,b)上有连续的导数,那么\(ds = \sqrt{1+(y')^2}dx\)
曲率
意义:表示曲线的弯曲程度,曲率大弯曲程度越大,
下图
在A与A'点斜率为0,那么角度改变了\(\alpha_1 和\alpha_2\)
,\(\Delta s\)相同,那么平均K
\[K = \frac {|\Delta \alpha|}{\Delta s}
\]
当A和B无限接近,可以用微分表示\(K = \frac {d \alpha}{ds}\), 有用完\(y' = tan \alpha\)那么\(\alpha = arctan(y')\)两边对x微分,
\(d\alpha = \frac{1}{1+(y')^2} * y''dx =>\) \(d\alpha = \frac{|y''|}{1+(y')^2}dx\),
\(ds参考弧微分\)
\[K = \frac {|\frac {y''}{1+(y')^2}dx|}{\sqrt{1+(y')^2}dx} = \frac{|y''|}{(1+(y')^2)^{\frac{3}{2}}}
\]
曲率半径
用圆拟合曲率
\[圆半径R = \frac {1}{K}
\]
用心做~