导数

定义

\(\lim_{\Delta x->0} \frac {f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} =f'(x)\)

充要条件

（定理）左右导数存在且相等

区间上可导及导函数

如果f(x)在区间(a,b)上每一点可导，则称f(x)在区间（a,b）上可导,对于（a,b）上的每一个点x都对应导函数f'(x),常称\(f'(x)\)为f(x)在（a,b）内的导函数， 如果在\(f_+(a)\)和\(f_-(b)\)都存在，那么在区间[a,b]上可导

（围绕上面的定理，在没一点可导题型）

题型

\(f(x) = \begin{cases} \frac {2x^3}{3}, x \leq 1,\\ x^2, x \gt 1, \end{cases} \)则f(x)在x=1处的 左导数存在但是右导数不存在，

• 分析：
  首先因为问的是x=1,那么\(\frac {2x^3}{3}\)满足此条件，所以直接能做导数， \(2x^2\)

下面\(x^2\)就不能直接求导，因为范围不满足，\(\lim_{\Delta x - > 0}\frac {(x + \Delta x)^2 - (\Delta x)^2}{\Delta x} = f'(x)\)

题型2：

• 导数的充要条件判定
  
  答案选（D）
• 分析：这题首先想到的是用导数的定义来做，
• A选项能画出完美的定义 \(\lim_{h->+\infty} \frac{f(a + \frac{1}{h} )- f(a))}{\frac {1}{h}}\),但是\(\frac {1}{h} -> 0^+\)但是，但是存在的充要条件是左右存在，且相等，这里确实\(0^-\)
• B选项n一看就是数列极限，默认大于零
• C中变形，\(\frac{1}{2} \lim_{h -> 0} \frac{f(a + h) -f(a)}{h} - \frac{f(a-h) - f(a)}{-h}\),要让c存在，不存在 - 不存在 = 不一定 所以有问题
• 所以这是还是要从基础抓，不要盲目刷题