连续

1概念

\(\lim_{\Delta x ->0} f(x + \Delta x) - f(x) = 0\)

连续的充要条件，左右连续且相等

2定义

如果函数在\((a,b)\)上连续，当函数在a点右连续，在b点左连续，那么函数在\([a,b]\)上连续

3间断点

三条件：

• 在\(x_0\)上没有定义
• 在\(x_0\)上有定义，但是极限不存在
• 在\(x_0\)上有定义，极限存在，但是\(\lim_{x->x_0}f(x) \neq f(x_0)\)

间断点分类

• 按左右极限是否存在
  第一类和第第二类
• 第一类
  • 按左右极限是否相等分
    • 相等，可去间断点(为什么极限存在了，还是可去间断点，可以类比分段函数，在该点有特殊定义)
    • 不相等，跳跃间断点
• 第二类
  • 不是第一类，如无穷间断点，振荡

4性质

• 函数连续f(x) ,g(x)连续，那么 他们加减乘除也连续，除法保证分母不为零
• 复合内外连续，那么复合后也连续
• 基本函数在定义域连续
• 初等函数（有基本初等函数经过运算获得）在其区间连续
  • 为什么是区间： f(x) = \(\sqrt{cosx - 1} = 0\) 下面是文字游戏
  • \(x = 2kn\pi\) x取0，\(2\pi\)等，定义域为离散的点，如果是在定义域连续，在这些点上更本不连续，所以只是在区间连续，（完全文字游戏，也侧面反映数学的严谨）

4.1最值定理

如果在一个区间[a,b]连续，那么一定有最值，确实，但是题目一般不是给你这些条件，是给你个开区间，然后你求在 右端点，左连续, 左端点，右连续求得在闭区间连续

4.2有界性质

其实直接最值那么就有界

4.3介值定理

其实就是中间点，在区间[a,b]上，\(f(a) \neq f(b)\) 那么存在一个C在f(a),f(b)之间，存在一个\(\xi \in (a,b)\) 使得\(f(\xi) = C\)

4.4 零点定理