函数连续，原函数可导

函数连续推出原函数可导

• 说实话，感觉这个很好笑，我既然都有导函数，那么原函数在区间各点还不可以导么
• 正经推：

设f(x)在区间[a,b]连续，那么原函数可表示（积分上限函数）\(\int_\alpha ^xf(x)dx\),且知道该积分在 \(x \in [a,b]\)
时一定存在。

= \(\lim_{h->0} \frac{F(x+ \Delta x)- F(x)}{h}\)

= \(\lim_{h->0} \frac{\int_\alpha ^{x+h}f(x)dx- \int_\alpha ^xf(x)dx}{h}\)

=\(\lim_{h->0} \frac{\int_\alpha ^{x+h}f(x)dx+ \int_x^{\alpha}f(x) dx}{h}\)

=\(\lim_{h->0} \frac{\int_x ^{x+h}f(x)dx}{h}\) (积分中值定理，此定理有时根据牛顿-莱布尼兹)

=\(\lim_{h->0}\frac{f(\xi)\int_x^{x+h}dx}{h}\) (x < \(\xi\) < x+h)

=\(\lim_{h->0}\frac{f(\xi)h}{h}\) ()

=\(\lim_{h->0}f(\xi)\) (f(x)连续 h->0 上面\(x < \xi < x+h\) 推出 h->x)

= f(x)

其中微分中值定理

积分上限导数为原函数

首先前置知识：定积分的导数：

\[(\int_{p(x)}^{q(x)} f(x)dx)' = f(q(x))*q'(x) - f(p(x))*p'(x) \]

那么积分上限函数\(\int_a^xf(x)dx\) 原函数应该是F(x)

牛顿-莱布尼兹推积分中值定理

\(\int_a^b f(x) dx= F(x)|_a^b = F(b) - F(a)\) 拉格朗日中值（这里又要推导连续可导性质了）

原式 = \(F(\xi)(b - a) = F(\xi) \int_a^bdx\)

还有个

参考

半个冯博士