可导和连续

可导推原函数连续,

因为函数f(x) 可导，那么根据导数定义(左右导数存在且相同)

\(\lim_{\Delta x->0} \frac {f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} =f'(x)\)

存在 g(x) = \(\lim_{\Delta x->0} {f(x + \Delta x) - f(x)}\)

由于f‘(x) 存在为常数，且\(\Delta x ->0\)所以g(X)与\(\Delta x\)为同阶无穷下 （\(存在 * 不存在 = 不一定\)这里就\(\frac {1}{\Delta x}\)看完无穷不存在）

所以 \(\lim_{\Delta x->0}g(x)\)存在，根据极限的定义，那么推出原函数存在，

连续推不出可导

• 函数\(f(x) = |x|\) (x->0)

根据连续定义， \(\lim_{\Delta x ->0} f(x + \Delta x) - f(x) = 0\) 求导在x = 0的领域中(无限靠进\(x_0\)的点)，函数连续

即 \(\lim_{\Delta x ->0} |x_0 + \Delta x| - |x_0|=0\) (\(x_0 = 0\))

= \(\lim_{\Delta x->0} |\Delta x|\) = 0

根据导数定义

\(\lim_{\Delta x - >0} \frac {|\Delta x|}{\Delta x}\)

当\(\Delta > 0\) \(\lim_{\Delta x - >0} \frac {|\Delta x|}{\Delta x}\) = 1

当\(\Delta < 0\) \(\lim_{\Delta x - >0} \frac {|\Delta x|}{\Delta x}\) = -1

根据定理，左右导数不存在，那么函数不可导