极值点拐点驻点零点

零点（非点）

使得函数值为零的x的值，如\((x - 1) ^ 2\) 中零点为 x = 1

驻点（不是点为x值）

什么是驻点

一阶导数为零的点，描述的是函数图像的平稳性
\(f'(x) = 0\);

拐点（点）

定义

区分弧线上凹凸分解点为拐点

必要条件

\(y = f(x)\) 在\(x_0\)处二阶可导，且点（\(x_0\),\(f(x_0)\)）为曲线f(x)的拐点，则\(f''(x) = 0\)

拐点第一充分条件

\(y = f(x)\) 在\(x_0\)处二阶可导 且二阶在\(x_0\)出为零

二阶导数在\(x_0\)两端要异号 （因为二阶导数确定了函数的凹凸性，二阶大于零，一阶函数单增，原函数为凹，小于零凸）

第二充分条件

在\(x_0\)处三阶可导，二阶为零

三界不为零就是拐点（三界不为零，说明二阶单调增或者减，二阶在\(x_0\)点又为零，说明二阶在\(x_0\)处的领域是异号的跳到第一充分条件）

极值点（x）

注意极值是有等号的，也就是常数函数也是极值

这里注意：数学界现在存在两种广义和狭义极值有些有等号有些没有等号

在\(x_0\)领域内\(f(x_0) \leq f(x)\)（\(\geq\)）这\(x_0\)为函数的极小值点（极大值点），两个通常极值点，
辨析：极值点和最值点，极值点不一定是最值点，什么极值点，极值点至少在某个领域是最值，范围很小，而最值的范围是在真个区间

第一充分条件

首先\(f(x)\)在\(x_0\)可导 且\(f'(x_0)\) = 0(或者f(x)在\(x_0\)处连续)

• 在x<\(x_0\)处 \(f(x) > 0\), 在x > \(x_0\)处 \(f(x) < 0\) \(x_0\)为f(x）的极大值
• 反之为极小值
• 总而言之就是\(f(x_0)\)要么为最大值，要么为最小值

第二充分条件

设\(f(x)\)在\(x_0\)处二阶可导 且\(f'(x_0) = 0\)

• 若\(f''(x_0)\) < 0 (说明一阶单调，又因为\(f'(x_0) = 0\))则\(x_0\)为f(x)的极大值点
• 大于零为值，为极小值点
• 等于零无法判定
• 想一下，为什么上面要是充分条件，不是充要条件，：原因极值点的定至少在一个领域上的最值，实际与导数存在否每一必然的关系只需满足
  • \(f(x_0) \leq f(x) (\geq)\),比如|x|在x = 0 点没有驻点，也就是没有极限，原因左右极限存在但是不相等，但是x=0取得极小值
  • 即使是f(x) = c.这种第一充要不满足，但是没点都是极值点，

极值点与驻点的关系

• 极值点不一定是驻点，如果\(|x|\)在x = 0处为极小值点，但是不是驻点，因为不可导
• 驻点也不一定是极值点：当\(x^3\)在x等于0时为驻点，但是一阶导数左右两侧不异号