追求真理之---无理数
大家的数学启蒙都是从哪儿开始的呢?大概都是从1,2,3开始的吧。有了数字作为基础,才会陆陆续续学会了公式,然后就真的开始学习了数学。直到后来,我们的数学能力发展一定程度之后,就发现,其实数学里的数字只有1,2,3是不够用的。于是出现了小数,分数,其中关于分数的研究,中国古人开创了先河,大约比欧洲早了1400多年。
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有了分数之后,我们觉得还是不够用,为什么呢?有些数量的表示你用整数,分数,小数都不行。于是乎,必须要出现一种全新的数来满足人们的需要。然后经过一个特殊的时机,无理数就出现了。事实上,无理数从发现,到被承认真是一场没有硝烟的战争啊。
一场没有硝烟的战争
让我们从公元前580年的古希腊说起,当时的古希腊有一个名叫做毕达哥拉斯的大神,相信提到这个名字,很多同学们对这个名字实在是太熟悉了。禁不住大声说出不就是那个毕达哥拉斯定理(其实就是我们国家的勾股定理)的毕达哥拉斯嘛,其实这只是他众多研究中微不足道的一个,而且并不是他提出的,而是他给出的证明。
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毕达哥拉斯是当时有名的数学家,科学家及哲学家,以他当时的名气组成了一个毕达哥拉斯团体,这个团体在现在来说像是个研究机构。而毕达哥拉斯是这个团体的领头人,他们认为“数”是万物的本源,这里的数是指整数、分数。因此世间一切事物都可以是数和数的比例,这更像是一个哲学观点。自然,只有那些整数或者分数符合这样的要求。为了自己理论的不受动摇,毕达哥拉斯认为世间再无其他数。
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然而,毕达哥拉斯的一个不太听话的学生,名叫希帕索斯。他在研究1与2的比例中项时发现,没有一个能用整数比例写成的数可以表示成这个比例中项。如果设这个数为x,由1:x=x:2,得出x2=2。他画了一个边长为1的正方形,设对角线为x,根据毕达哥拉斯定理的出:x2=12+12,可以得出边长为1的正方形的对角线的长度即为x的值。很显然,这个值是存在的,我们可以在数轴上表示你出来。可是,希帕索斯百思不得其解,不知道该怎么表示这个“新数”。
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这个“新数”出现,动摇了以毕达哥拉斯学派的固有观点,但是信徒们认为毕老师辛苦建造“万物皆为数”的大厦不可能就此坍塌,于是毕老师下令严格封锁这个消息。其实我们仔细想想,毕达哥拉斯亲自动手证明了勾股定理,难道他没有考虑过这个问题吗?也许他早就知道有这类数的存在。只是当时他被自己的信仰蒙蔽了双眼,即使内心有怀疑,也不想去违背这种纯粹的理念。这种情况,我们现在一般称作愚昧。如此一来,发现者希帕索斯可就遭殃了。
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但是希帕索斯可不是一个只知道提出质疑的书呆子,他发现苗头不对,于是,迅速选择跑路。就这样,他被迫流浪海外,但是希帕索斯终究抵不过思乡之苦,偷偷跑回来希腊看望家人,这一次他还是没有逃脱他老师的手心,再被抓获后被投入地中海而溺亡。
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但是希帕索斯虽然因无理数的发现而身亡,但是真理会迟到,但是永远不会缺席。
随着数学理论的完善,拥有现代数学常识的人们可以用一种非常简单的方式来证明根号2不是有理数,思路也相当简单明了。
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旷日持久的第一次数学危机
毕达哥拉斯学派在数学上的保守态度与西帕索斯的根号2的发现,直接导致第一次数学危机。随着时间的推移,无理数逐渐成为人所共知的事实。当时的人们在越来越多的例子中发现了无理数的踪影。真相就是你越想着躲避,那就会越来越多地出现在你面前。
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后来,古希腊数学家尤得塞斯(Eudoxus)解决了无理数的问题,因为毕达哥拉斯学派对数的影响实在太为深远。尤得塞斯为了避开毕氏学派,可以说是想尽方法遮遮掩掩,唯恐与毕老师针锋相对。起初他使用量的概念来描述无理数,能代表生活中诸如线段、角、面积、体积、时间等等这些能作连续变化的东西。其次,尤得塞斯定义量的比及比例,这种比例是两个比的一个等式。然而同样地,也不使用数字来表示这种比,比和比例的观念是紧密地与几何(可以想象为直线的长度)连在一起。
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古希腊数学家欧几里得的《几何原本》第五卷第五条定义收录了尤得塞斯的通过几何的方式对这种量的(无理数)的解释:“有四个量,第一量比第二量与第三量比第四量叫做有相同比,如果对第一个量取任何同倍数,又对第二量也第四个量取任何同倍数,而第一与第二倍量之间依次有大于、等于、小于的关系,那么第三、第四倍量也有相同的关系。”
说起来有点绕口,还是用现在的数学语言描述一下吧。
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虽然大家都默认了无理数的存在,但是,关于无理数的研究和讨论却一直持续了此后的2000多年。到19世纪,德国伟大的数学家戴德金,给出了无理数较为系统的定义,从而终结了由无理数引起的第一次数学危机。
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戴德金通过他一个著名的理论戴德金分割系统的定义了无理数。在数学方面,戴德金分割(cut切割),以德国数学家Richard Dedekind命名, Dedekind cut是通过有理数的分割,一刀两断,理解戴德金分割可能需要借助一个数轴。分为两个非空集A和B,在数轴上分三种情况:
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我们来解释一下上述方法。
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其中在第三种情况下,没有界数存在,所以并不定义任何有理数。此时就产生了一个“新数”,而这个新数就是无理数,这种无理数切割处就等同于无理数。戴德金用上面这个简单的方式,严谨地给出了无理数存在于有理数之外的定义,也就是说戴德金从有理数出发,给出无理数。至此,无理数终于没有任何疑问地留在数学大厦中了。
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时至今日,无理数已经成为一种数学常识,同整数一样,当然也是无穷个。无理数里最著名的要数π和e了,π是圆周率,我国古代数学家祖冲之曾经将圆周率计算到小数点7位;e为自然常数,也称之为欧拉数,是微积分领域中最重要的数字,没有之一;黄金分割φ也是无理数,深深地揭示了自然界很多美妙出现的根本原因。总之,无理数的发现和应用深深地影响到了从古至今的所有人。
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毕达哥拉斯学派在科学上的影响力,的确使得希腊的确成为了人类古文明的中心。同时也正因为毕老师的学派如此有名,导致很多研究者对于毕老师的敬畏远远大于对科学的敬畏。比如第一个试图从理论上证明无理数的尤得塞斯,他天才般地或者说是被逼无奈地想到用几何学来解释无理数,这招感觉不错之后,又有更多的人来效仿。几何学的解释既形象,也容易理解,并且不带有那么多哲学理念,在几何学里,我们只谈论逻辑推理,甚至到后来,人们为了逻辑推理训练,专门来学几何学。所以,伟大的欧几里得和他的《几何原本》诞生了。那么多杰出人才都扑在几何学上,又使得古希腊在几何学上的研究,领先了将近两千年。
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人们都说,数学是所有自然学科的基础,而关于数却一直在发展,从无到零的出现,从整数到负数,从有理数到无理数,从实数到虚数,从复数到汉密尔顿的四元数。新事物的诞生都伴随着巨大的阻力,有的可能会有付出生命的代价,数的发展也同样如此。但不可否认的是,每一次对数域的扩充,都让人们更加接近数学的本质,了解数学也就是了解了我们身边的世界。