数值分析期末复习

22-12-02 upload

Ch1 误差分析

Ch2 迭代法收敛

Ch3 Jacobi, Gauss-Seidel, SOR 迭代收敛

Ch1 误差分析复习总结

绝对误差和相对误差。
误差对函数的影响。（一元和多元）
有效数字概念。
递推算法稳定性。
秦九韶公式。

绝对误差与相对误差

绝对误差： $e = x^{*} - x$
相对误差： $e_{r} = \frac{e}{x}$

误差对函数的影响

全微分
将 $d x$ 理解为 $e (x)$

有效数字的概念

递推算法稳定性

将 $I_{n}$ 表达式与 $\hat{I_{n}}$ 相减，得出 $e_{n}$ 表达式，并多写几项，归纳至 $e_{0}$ ，判断是否收敛。

反向递推，将 $I_{n - 1}$ 用 $I_{n}$ 表示，后续分析同正向递推。

秦九韶公式

列表法，理解的基础上。
首行：幂次降序排列，缺项补零。
第二行：使用第三行的前一结果。此行为乘项。
第三行：第二行同第一行相加的结果。此行为和项。

Ch2 非线性方程数值解法

Ch3 线性方程组数值解法

Jacobi, Guass-Seidel迭代格式
收敛的参数范围求解

Jacobi, Gauss-Seidel迭代格式

Jacobi迭代格式： ${\begin{cases} x_{1}^{(k + 1)} = (b_{1} - a_{12} x_{2}^{(k)} - a_{13} x_{3}^{(k)} - \dots - a_{1 n} x_{n}^{(k)}) / a_{11} \\ x_{2}^{(k + 1)} = (b_{2} - a_{21} x_{1}^{(k)} - a_{23} x_{3}^{(k)} - \dots - a_{2 n} x_{n}^{(k)}) / a_{22} \\ ⋮ \\ x_{n}^{(k + 1)} = (b_{n} - a_{n 1} x_{1}^{(k)} - a_{n 2} x_{2}^{(k)} - \dots - a_{n n - 1} x_{n - 1}^{(k)}) / a_{n n} \end{cases}$
Gauss-Seidel迭代格式： ${\begin{cases} x_{1}^{(k + 1)} = (b_{1} - a_{12} x_{2}^{(k)} - a_{13} x_{3}^{(k)} - \dots - a_{1 n} x_{n}^{(k)}) / a_{11} \\ x_{2}^{(k + 1)} = (b_{2} - a_{21} x_{1}^{(k + 1)} - a_{23} x_{3}^{(k)} - \dots - a_{2 n} x_{n}^{(k)}) / a_{22} \\ ⋮ \\ x_{n}^{(k + 1)} = (b_{n} - a_{n 1} x_{1}^{(k + 1)} - a_{n 2} x_{2}^{(k + 1)} - \dots - a_{n n - 1} x_{n - 1}^{(k + 1)}) / a_{n n} \end{cases}$