数值分析期末复习

22-12-02 upload

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Ch1 误差分析

Ch2 迭代法收敛

Ch3 Jacobi, Gauss-Seidel, SOR 迭代收敛

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Ch1 误差分析复习总结

Contents

1. 绝对误差和相对误差。
2. 误差对函数的影响。（一元和多元）
3. 有效数字概念。
4. 递推算法稳定性。
5. 秦九韶公式。

绝对误差与相对误差

绝对误差：\(e= x^* - x\)
相对误差：\(e_r = \frac{e}{x}\)

误差对函数的影响

1. 全微分
2. 将\(\mbox{d}x\)理解为\(e(x)\)

有效数字的概念

递推算法稳定性

将\(I_n\)表达式与\(\hat{I_n}\)相减，得出\(e_n\)表达式，并多写几项，归纳至\(e_0\)，判断是否收敛。

反向递推，将\(I_{n-1}\)用\(I_n\)表示，后续分析同正向递推。

秦九韶公式

列表法，理解的基础上。
首行：幂次降序排列，缺项补零。
第二行：使用第三行的前一结果。此行为乘项。
第三行：第二行同第一行相加的结果。此行为和项。

Ch2 非线性方程数值解法

Ch3 线性方程组数值解法

Contents

1. Jacobi, Guass-Seidel迭代格式
2. 收敛的参数范围求解

Jacobi, Gauss-Seidel迭代格式

Jacobi迭代格式：\(\begin{cases}x_{1}^{(k+1)}=(b_1-a_{12}x_2^{(k)}-a_{13}x_3^{(k)}-\cdots-a_{1n}x_n^{(k)})/a_{11}\\x_{2}^{(k+1)}=(b_2-a_{21}x_1^{(k)}-a_{23}x_3^{(k)}-\cdots-a_{2n}x_n^{(k)})/a_{22}\\\vdots\\x_{n}^{(k+1)}=(b_n-a_{n1}x_1^{(k)}-a_{n2}x_2^{(k)}-\cdots-a_{nn-1}x_{n-1}^{(k)})/a_{nn}\end{cases}\)
Gauss-Seidel迭代格式：\(\begin{cases}x_{1}^{(k+1)}=(b_1-a_{12}x_2^{(k)}-a_{13}x_3^{(k)}-\cdots-a_{1n}x_n^{(k)})/a_{11}\\x_{2}^{(k+1)}=(b_2-a_{21}x_1^{(k+1)}-a_{23}x_3^{(k)}-\cdots-a_{2n}x_n^{(k)})/a_{22}\\\vdots\\x_{n}^{(k+1)}=(b_n-a_{n1}x_1^{(k+1)}-a_{n2}x_2^{(k+1)}-\cdots-a_{nn-1}x_{n-1}^{(k+1)})/a_{nn}\end{cases}\)