第六章 数值积分与数值微分

6.1 积分与数值积分

6.1.1 定积分简介

给定有界函数$f(x)$以及区间$[a,b]$，任取一组分点

$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=b$，

把区间$[a,b]$分成n个小区间$[x_i,x_{i+1}],i=0:n-1$，再任取${\xi }_i\in [x_i,x_{i+1}]$，令

$R_n=\sum _{i=0}^{n-1}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i,\mathrm{\Delta }{x}_i=x_{i+1}-x_i,$

设$\lambda =\underset{0\le i\le n-1}{max}\{\mathrm{\Delta }{x}_i\}$，如果不论$[a,b]$怎么分，不论${\xi }_i$如何选取，只要$\lambda \to 0$，和式的极限都存在，则把它称为函数$f(x)$在$[a,b]$上的定积分，记为

$I={\int }_a^{b}f(x)\text{d}x=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=0}^{n-1}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$

和式$R_n=\sum _{i=0}^{n-1}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$称为Riemann和。

通常来说，函数$f(x)$只要满足连续、分段连续、单调这三者之一，定积分总存在。

1）Riemann和能否近似计算定积分

答案是否定的，为得到较好的近似效果，${\xi }_i$和$x_i$都要针对性选取，且n通常会比较大，计算成本较高与初心相悖。

2）牛顿-莱布尼茨公式等解析方法的局限性

一些函数找不到初等函数表示的原函数，$f(x)$还可能是一个表函数，根本不知道具体的表达式。

6.1.2 数值积分

2）数值求积分的思路1

有效利用插值多项式进行数值求积

注意到$p_n(x)=y_0{l}_0(x)+\cdots +y_n{l}_n(x),$

则${\int }_a^b{p}_n(x)\text{d}x=\sum _{k=0}^n{y}_k{\int }_a^b{l}_k(x)\text{d}x=\sum _{k=0}^n{A}_k{y}_k,$其中$A_k={\int }_a^b{l}_k(x)\text{d}x$，这里$A_k$只依赖节点，不依赖于被积函数，具有一定可重复性。

3）数值求积分的思路2