第五章 插值与逼近

5.1 离散问题

定义给定一组点$\{x_i,y_i\}(i=0,1,\cdots ,n)$

并且$x_0<x_1<\cdots <x_n$，若函数$f(x)$使得

$f(x_i)=y_i(i=0,1,\cdots ,n)$

成立，则$y=f(x)$就是这一组数据点的一个插值函数，求$y=f(x)$的过程称为函数插值。

函数插值不是唯一的。

其他处理离散点的方式允许存在误差，因此没有必要要求函数一定要准确地通过给定的数据点。

5.2 一般插值问题

5.2.1 对插值函数的要求

• 插值函数应该有比被插值函数具有更简单的形式；
• 插值函数应当继承被插值函数的某些特性，包括但不限于单调性、凹凸性、周期性；
• 简单程度
• 性态方面的接近程度

5.2.2 多项式插值

1）多项式插值的定义

定义给定一组点$\{x_i,y_i\}(i=0,1,\cdots ,n)$，且

$x_0<x_1<\cdots <x_n$

求次数不超过n的多项式$p_n(x)$使得

$p_n(x_i)=y_i,i=0,1\cdots ,n$

成立，其中$x_i$称为插值节点，$p_n(x)$称为n次插值多项式。

5.2.3 单项式基底下的多项式插值

设n次插值多项式为$p_n(x)=t_0+t_{1}x+t_2{x}^2+\cdots +t_n{x}^n$

根据插值条件，得到

$p_n(x)=t_0+t_1{x}_i+t_2{x}_i^2+\cdots +t_n{x}_i^2,i=0,1,\cdots ,n$

即

$\left[\begin{array}{cccc}1& x_i& \cdots & x_i^n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{t}_0\\ t_1\\ ⋮\\ t_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]$

上述关系就是一个关于$t_0,t_1,\cdots ,t_n$的线性方程组：

$\left[\begin{array}{cccc}1& x_0& \cdots & x_0^n\\ 1& x_1& \cdots & x_1^n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& x_n& \cdots & x_n^n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{t}_0\\ t_1\\ ⋮\\ t_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]$

用矩阵符号记之为$At=y$，其中A称为插值矩阵。

矩阵A是Vandermonde矩阵，当$x_i$互不相同时，A可逆。

但通常不会这么做：①工作量大 ②A通常是一个病态矩阵

5.2.4 一般基底下的插值多项式

假设有一组$P_n$的基底：${\phi }_0(x),{\phi }_1(x),\cdots ,{\phi }_n(x)\in P_n$

任意次数不超过n的多项式可写成：$P_n(x)=t_0{\phi }_0(x)+t_1{\phi }_1(x)+\cdots +t_n{\phi }_n(x)$

写成矩阵形式$At=y$

$\left[\begin{array}{cccc}{\phi }_0(x_0)& {\phi }_1(x_0)& \cdots & {\phi }_n(x_0)\\ {\phi }_0(x_1)& {\phi }_1(x_1)& \cdots & {\phi }_n(x_1)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\phi }_0(x_n)& {\phi }_1(x_n)& \cdots & {\phi }_n(x_n)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{t}_0\\ t_1\\ ⋮\\ t_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]$

A称为一般插值矩阵。

什么情况下，$At=y$能够被快速求解？显然，当$A=I$时，系统求解起来最为方便。

当插值矩阵是单位阵时，对应的就是Lagrange插值多项式。

5.3 常用插值公式和算法

5.3.1 Lagrange型插值多项式

当矩阵A是单位阵时，对角线上元素为1，其他元素为0，得到

${\phi }_j(x_i)={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{l}1,i=j,i=0:n,\\ 0,i\ne j\end{array}$

若可以求出这样的${\phi }_j(x)$它们就称为Lagrange插值基，并记为$l_j(x)$，它们又称基本插值多项式。

由于要求插值矩阵是单位阵，那么

$l_j(x_i)=0(i\ne j),l_j(x_j)=1$

$l_j(x)={\alpha }_j(x-x_0)\cdots (x-x_{j-1})(x-x_{j+1})\cdots (x-x_n)$

由上式知，${\alpha }_j=\frac{1}{\prod _{i=0,i\ne j}^n(x_j-x_i)}$，则$l_j(x)=\frac{\prod _{i=0,i\ne j}^n(x-x_i)}{\prod _{i=0,i\ne j}^n(x_j-x_i)}$

$p_n(x)=y_0{l}_0(x)+y_1{l}_1(x)+\cdots +y_n{l}_n(x)=\sum _{j=0}^n{y}_j{l}_j(x)=\sum _{j=0}^n{y}_j\frac{\prod _{i=0,i\ne j}^n(x-x_i)}{\prod _{i=0,i\ne j}^n(x_j-x_i)}$，称$p_n(x)$为n次Lagrange插值多项式。

5.3.2 插值误差余项

设$f(x)$在包含$n+1$个互异节点$x_0,x_1,\cdots ,x_n$的区间$[a,b]$上具有n阶连续倒是，且在$(a,b)$内存在$n+1$阶导数，则对于任意的$x\in [a,b]$，有$R_n(x)=f(x)-p_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{W}_{n+1}(x)$，其中$\xi \in (a,b),W_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_n)$

引入差商的原因

Lagrange插值多项式存在缺点：当增加/减少插值节点时，Lagrange插值多项式必须重新计算。

因此设想一个构造$L_k(x)$的方法。

为此考察$g(x)=L_k(x)-L_{k-1}(x)$

显然$g(x)$是一个次数不超过$k$的多项式，且对$j=0,1,\cdots ,k-1$有

$g(x_j)=L_k(x_j)-L_{k-1}(x_j)=f(x_j)-f(x_j)=0$

这样$g(x)$有零点$x_0,x_1,\cdots ,x_{k-1}$，那么有$g(x)=a_k(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_{k-1})$

亦可等价为$L_k(x)=L_{k-1}(x)+a_k(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_{k-1})$

递推有$L_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)+\cdots +a_n(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_{n-1})$

求解$a_k$，令$x=x_k$，代入$L_k(x)=L_{k-1}(x)+a_k(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_{k-1})$

由于计算麻烦，遂引入差商。

5.3.4 差商与Newton插值

设0阶差商为$f[x_i]=f(x_i)$，则1阶差商定义为$f[x_i,x_j]=\frac{f[x_j]-f[x_i]}{x_j-x_i}$，2阶差商定义为$f[x_i,x_j,x_k]=\frac{f[x_j,x_k]-f[x_i,x_j]}{x_k-x_i}$，k阶差商定义为$f[x_0,x_1,\cdots ,x_k]=\frac{f[x_1,\cdots ,x_k]-f[x_0,\cdots ,x_{k-1}]}{x_k-x_0}$

对比上节我们发现${\alpha }_k=f[x_0,x_1,\cdots ,x_k]$，即插值多项式为$$\begin{gathered} p_n(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\cdots \\ +f[x_0,x_1,\cdots ,x_n](x-x_0)\cdots (x-x_{n-1}) \end{gathered}$$

这种类型的插值多项式称为n次Newton型插值多项式。相当于把$1,x-x_0,(x-x_0)(x-x_1),\cdots ,(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_{n-1})$作为多项式空间$P_n$的一组基。

1）Newton型插值多项式的计算流程

给定数据点$(x_0,y_0)(x_1,y_1)\cdots (x_n,y_n)$

列差商表

k	$x_k$	0阶	1阶	2阶	3阶
0	$x_0$	$f[x_0]$	$f[x_0,x_1]$	$f[x_0,x_1,x_2]$	$f[x_0,x_1,x_2,x_3]$
1	$x_1$	$f[x_1]$	$f[x_1,x_2]$	$f[x_1,x_2,x_3]$
2	$x_2$	$f[x_2]$	$f[x_2,x_3]$
3	$x_3$	$f[x_3]$

根据第一行结果，得到插值多项式为$$\begin{gathered} N_3(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1) \\ +f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) \end{gathered}$$

2）差商的性质

性质2 差商具有对称性 $f[x_0,x_1,x_2,x_3]=f[x_3,x_0,x_1,x_2]$

性质3 差商同高阶导数具有如下关系 $f[x_0,x_1,\cdots ,x_k]=\frac{f^{(k)}(\eta )}{k!}\eta \in (\underset{0\le i\le k}{min}\{x_i\},\underset{0\le i\le k}{max}\{x_i\})$

性质4 上性质的推论 $f[x_0,x_1,\cdots ,x_k,x]=\frac{f^{(k+1)}(\xi )}{(k+1)!}\xi \in (min\{x_0,x_1,\cdots ,x_i,x\},max\{x_0,x_1,\cdots ,x_i,x\})$

可以证明Newton误差余项可以写成$R_k(x)=f(x)-N(x)=f[x_0,x_1,\cdots ,x_k,x]W_{k+1}(x)$

差分及等距节点Newton插值多项式

上节讨论的是节点任意分布的Newton插值多项式。但在实际使用时又是碰到等距节点的情况，即节点为$x_i=a+ih(i=0,1,\cdots ,n)$这里h称为步长，此时插值多项式可以进一步简化，同时可以避免做除法运算。

定义：已知函数$f(x)$在等距节点$x_i$上的函数值为$f(x_i)=f_i(i=0,1,\cdots ,n)$，称$f_{i+1}-f_i$在$x_i$处以h为步长的1阶差分，记作$\mathrm{\Delta }{f}_i$，即$\mathrm{\Delta }{f}_i=f_{i+1}-f_i$，类似的，称${\mathrm{\Delta }}^k{f}_i={\mathrm{\Delta }}^{k-1}{f}_{i-1}-{\mathrm{\Delta }}^{k-1}{f}_i$为$f(x)$在$x_i$处以h为步长的k阶向前差分，简称k阶差分。

和差商的计算一样，可构造差分表

k	$x_k$	$f_k$	$\mathrm{\Delta }{f}_k$	${\mathrm{\Delta }}^2{f}_k$	${\mathrm{\Delta }}^3{f}_k$	${\mathrm{\Delta }}^4{f}_k$
0	$x_0$	$f_0$	$\mathrm{\Delta }{f}_0$	${\mathrm{\Delta }}^2{f}_0$	${\mathrm{\Delta }}^3{f}_0$	${\mathrm{\Delta }}^4{f}_0$
1	$x_1$	$f_1$	$\mathrm{\Delta }{f}_1$	${\mathrm{\Delta }}^2{f}_1$	${\mathrm{\Delta }}^3{f}_1$
2	$x_2$	$f_2$	$\mathrm{\Delta }{f}_2$	${\mathrm{\Delta }}^2{f}_2$
3	$x_3$	$f_3$	$\mathrm{\Delta }{f}_3$
4	$x_4$	$f_4$

应用数学归纳法可以证明差分和差商有如下关系：$f[x_i,x_{i+1},\cdots ,x_{i+k}]=\frac{{\mathrm{\Delta }}^k{f}_i}{k!h^k}$

令$x=x_0+th$，则$\prod _{j=0}^{k-1}(x-x_j)=\prod _{j=0}^{k-1}[(x_0+th)-(x_0+jh)]=h^k\prod _{j=0}^{k-1}(t-j)$

代入到Newton插值多项式$N_n(x)=\sum _{k=0}^{n}f[x_0,x_1,\cdots ,x_k]\prod _{j=0}^{k-1}(x-x_j)$

得到$N_n(x_0+th)=\sum _{k=0}^n\frac{{\mathrm{\Delta }}^k{f}_0}{k!}\prod _{j=0}^{k-1}(t-j)$

其中$t=\frac{x-x_0}{h}$，称为n次Newton前插公式。

5.3.8 一种带导数的插值

带导数插值问题的一种处理手段就是，先用函数值数据构造一个低次多项式，然后找到二者的联系，最后再用倒数条件确定一些未知的系数，需要指出的是，并非任意一个带导数插值问题都有解或唯一解，要具体问题具体分析。

5.3.9 Hermite插值

给定区间$[a,b]$中n+1个互异节点$x_i(i=0,1,\cdots ,n)$上的函数值以及直到$m_i$阶的导数值$f(x_i),f^{\prime }(x_i),\cdots ,f^{(m_i)}(x_i)$，令$m=\sum _{i=0}^n(m_i+1)-1$。若存在次数不超过m的多项式$H_m(x)$，使得每个$x_i(i=0,1,\cdots ,n)$处$H_m(x_i)=f(x_i),H_m^{\prime }(x_i)=f^{\prime }(x_i),\cdots ,H_m^{m_i}(x_i)=f^{(m_i)}(x_i)$

则称$H_m(x)$为$f(x)$的m次Hermite插值多项式。

Hermite插值又称为重节点上的插值。

当被插值函数$f(x)$在节点$x_i$处具有$m_i$阶连续导数时，Hermite插值多项式$H_m(x)$存在且唯一。

当$f(x)\in C^{(m+1)}[a,b]$时，Hermite插值的误差余项为$f(x)-H_m(x)=\frac{f^{(m+1)}(\xi )}{(m+1)!}\prod _{i=0}^n(x-x_i{)}^{m_i+1},\xi \in (a,b)$

2）Newton型Hermite插值多项式

重节点上的差商可以这样计算：$f[x_0,x_0]=f^{\prime }(x_0)$

更多节点时：$f[\underset{k+1}{\underbrace{x_0,\cdots ,x_0}}]=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$

有了重节点上的差商，Hermite插值多项式：$$\begin{gathered} H_m(x)=f[x_0]+f[x_0,x_0](x-x_0)+\cdots +f[x_0,\cdots ,x_0](x-x_0{)}^{m_0}+ \\ f[x_0,\cdots ,x_0,x_1](x-x_0{)}^{m+1}+ \\ f[x_0,\cdots ,x_0,x_1,x_1](x-x_0{)}^{m_0+1}(x-x_1)+\cdots \end{gathered}$$

5.4.2 分段线性插值

2）分段线性插值简介

最简单的分段插值是分段线性插值，所谓分段线性插值，简而言之就是用折现直接把数据点连接起来，然后就形成一个分段函数。

理论分析

$x$	$x_0$	$x_1$	$\cdots$	$x_{n-1}$	$x_n$
$f(x)$	$f(x_0)$	$f(x_1)$	$\cdots$	$f(x_{n-1})$	$f(x_n)$

记$h_i=x_{i-1}-x_i,h=\underset{0\le i\le n-1}{max}\{h_i\}$在$[x_i,x_{i+1}]$上进行线性插值，得到$L_{1,i}(x)=f(x_i)+f[x_i,x_{i+1}](x-x_i)$根据误差余项公式，子区间上的插值误差余项为$f(x)-L_{1,i}(x)=\frac{1}{2}{f}^{″}(\xi )(x-x_i)(x-x_{i+1}),{\xi }_i\in (x_i,x_{i+1})$

因此小区间上的误差估计为$\underset{x_i\le x\le x_{i+1}}{max}|f(x)-L_{1,i}(x)|\le \frac{h_i^2}{8}\underset{x_i\le x\le x_{i+1}}{max}|f^{″}(x)|$

令${\tilde{L}}_1(x)=\{\begin{array}{l}{L}_{1,0}(x),x\in [x_0,x_1)\\ L_{1,1}(x),x\in [x_1,x_2)\\ \cdots \\ L_{1,n-2}(x),x\in [x_{n-2},x_{n-1})\\ L_{1,n-1}(x),x\in [x_{n-1},x_n)\end{array}$就得到了分段线性插值函数$\widetilde{L_1}(x)$，它的误差(整体误差)为

$\begin{array}{rl}\underset{a\le x\le b}{max}|f(x)-{\tilde{L}}_1(x)|& =\underset{0\le i\le n-1}{max}\underset{x_i\le x\le x_{i+1}}{max}|f(x)-{\tilde{L}}_{1,i}(x)|\\ & \le \underset{0\le i\le n-1}{max}\frac{h_i^2}{8}\underset{x_i\le x\le x_{i+1}}{max}|f^{″}(x)|\\ & \le \frac{h^2}{8}\underset{a\le x\le b}{max}|f^{″}(x)|\end{array}$

3）分段线性插值多项式的总结

优点：能消除高次插值的过分振荡和不收敛现象。

缺点：在插值函数的光滑性方面有所欠缺。

5.4.4 样条插值与三次样条插值

3）三次样条函数的高效计算

关键点：假设$M_j=S^{″}(x_j)$，称之为力矩。

对小区间$[x_j,x_{j+1}]$来说，$M_j,M_{j+1}$足够表示出样条函数的2阶导数，并且同下一个区间$[x_{j+1},x_{j+2}]$共用同一个力矩$M_{j+1}$

根据Lagrange插值，在小区间$[x_j,x_{j+1}]$上，有$S^{″}(x)=M_j\frac{x_{j+1}-x}{h_j}+M_{j+1}\frac{x-x_j}{h_j},x\in [x_j,x_{j+1}]$

积分有$S^{\prime }(x)=-M_j\frac{(x_{j+1}-x{)}^2}{2h_j}+M_{j+1}\frac{(x-x_j{)}^2}{2h_j}+A_j$，其中$A_j$是待定的常数

再次积分得到样条函数为$S(x)=M_j\frac{(x_{j+1}-x{)}^3}{6h_j}+M_{j+1}\frac{(x-x_j{)}^3}{6h_j}+A_{j}x+B_j$

通过$S(x_j)=y_j,S(x_{j+1})=y_{j+1}$，求解$A_j,B_j$，发现是关于$M_j$的表达式。

再根据$S^{\prime }(x_j-0)=S^{\prime }(x_j+0)$列写$M_{j-1},M_j,M_{j+1}$

接着对$S^{\prime }(x_j-0)=S^{\prime }(x_j+0)$化简出等式的系数设为参数，而后会得到一个严格对角占优的三对角系统，即

$\{\begin{array}{l}2M_0+M_1=d_0\\ {\mu }_j{M}_{j-1}+2M_j+{\lambda }_j{M}_{j+1}=d_j,j=1,2,\cdots ,n-1,\\ M_{n-1}+2M_n=d_n\end{array}$

定义参数：

$\{\begin{array}{l}{h}_j=x_{j+1}-x_j,j=0:n-1,\\ {\lambda }_0=1,\\ d_0=\frac{6}{h_0}(\frac{y_1-y_0}{h_0})-y_0^{\prime },\\ {\lambda }_j=\frac{h_j}{h_{j-1}+h_j},j=1:n-1,\\ {\mu }_j=1-{\lambda }_j=\frac{h_{j-1}}{h_{j-1}+h_j},j=1:n-1,\\ d_j=\frac{6}{h_{j-1}+h_j}(\frac{y_{j+1}-y_j}{h_j}-\frac{y_j-y_{j-1}}{h_{j-1}}),j=1:n-1,\\ {\mu }_n=1,\\ d_n=\frac{6}{h_{n-1}}(y_n^{\prime }-\frac{y_n-y_{n-1}}{h_{n-1}}).\end{array}$

5.5 函数逼近

5.5.1 函数逼近简介

1）范数与距离

设X是一个线性空间，假设有函数$||·||:X\to R$，它满足：

①$||x||\ge 0,||x||=0\iff x=0$

②$||\alpha x||=\alpha \cdot ||x||,\alpha \in R$

③$||x+y||\le ||x||+||y||$

则称$||·||$是X上的范数，定义了范数的线性空间被称为线性赋范空间。其中常用范数为

$||f|{|}_1={\int }_a^b|f(x)|\text{d}x,||f|{|}_{\mathrm{\infty }}=\underset{a\le x\le b}{max}|f(x)|,||f|{|}_2=\sqrt{{\int }_a^b[f(x){]}^2\text{d}x}$

2）最佳逼近定义

设X是一个线性赋范空间，$M\subset X,f\in X$，若M中的元素$\phi$满足：$||f-\phi ||\le ||f-\psi ||,\mathrm{\forall }\psi \in M$，则称$\phi$为f在M中的最佳逼近元。

选择无穷范数时，得到最佳一致逼近；

选择2-范数时，得到最佳平方逼近。

5.5.2 最佳一致逼近简介

1）最佳一致逼近多项式

对函数来说，无穷范数度量的就是最大误差，即$||f-g|{|}_{\mathrm{\infty }}=\underset{a\le x\le b}{max}|f(x)-g(x)|$两个函数在某区间上的“最大”差别很小，二者的“整体”差别就很小，这也是一致的含义。所谓最佳一致逼近，就是求最大误差最小的逼近函数。

定义5.8，设$f\in C[a,b]$，若$\mathrm{\exists }{p}_n\in P_n$，使得对$\mathrm{\forall }{q}_n\in P_n$，有

$||f-p_n|{|}_{\mathrm{\infty }}\le ||f-q_n|{|}_{\mathrm{\infty }}$，

则称$p_n(x)$是f(x)的n次最佳一致逼近多项式。

定理5.8 设$f\in C[a,b]$，则它的n次最佳一致逼近多项式存在且唯一。

定义5.9，设$g\in C[a,b]$，如果$\mathrm{\exists }{x}_k\in [a,b]$使得

$|g(x_k)|=||g|{|}_{\mathrm{\infty }}$，则称$x_k$为g(x)在[a,b]上的偏差点。

5.5.3 最佳平方逼近

1）为什么要研究最佳平方逼近

最佳一致逼近考虑的是整个区间上绝对误差的最大值，最佳一致逼近反而不能很好地反映真实情况。

2）内积与范数

设X是一个线性空间，对$\mathrm{\forall }x,y\in X$，都有唯一的师叔与之对应，我们记该实数为$(x,y)$，若它满足：

①$\mathrm{\forall }x,y\in X$，有$(x,y)=(y,x)$； ②$\mathrm{\forall }x,y\in X,\lambda \in R$，有$(\lambda x,y)=\lambda (x,y)$；

③$\mathrm{\forall }x,y,z\in X$，有$(x+y,z)=(x,z)+(y,x)$；④$\mathrm{\forall }x\in X$，有$(x,x)\ge 0$且$(x,x)=0\iff x=0$

则X称为内积空间，又称Hilbert空间。二元运算$(·,·)$称为内积运算，简称内积，它是一个具有对称性的双线性函数。

常用的内积有两个：①$R^n:(x,y)=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i$；②$C[a,b]:(f,g)={\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x$

4）离散情形的最佳平方逼近

$\left[\begin{array}{ccc}({\phi }_0,{\phi }_0)& \cdots & ({\phi }_0,{\phi }_m)\\ ({\phi }_1,{\phi }_0)& \cdots & ({\phi }_1,{\phi }_m)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ ({\phi }_m,{\phi }_0)& \cdots & ({\phi }_m,{\phi }_m)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_0\\ c_1\\ ⋮\\ c_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}(y,{\phi }_0)\\ (y,{\phi }_1)\\ ⋮\\ (y,{\phi }_m)\end{array}\right]$

5）超定方程组的最小二乘解

超定方程组的正规方程组为：$A^{T}Ax=A^{T}b$

6）连续情形的最佳平方逼近

$\left[\begin{array}{ccc}({\phi }_0,{\phi }_0)& \cdots & ({\phi }_0,{\phi }_m)\\ ({\phi }_1,{\phi }_0)& \cdots & ({\phi }_1,{\phi }_m)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ ({\phi }_m,{\phi }_0)& \cdots & ({\phi }_m,{\phi }_m)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_0\\ c_1\\ ⋮\\ c_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}(f,{\phi }_0)\\ (f,{\phi }_1)\\ ⋮\\ (f,{\phi }_m)\end{array}\right]$

其中$({\phi }_i,{\phi }_j)={\int }_a^b{\phi }_i(x){\phi }_j(x)\text{d}x,(f,{\phi }_i)={\int }_a^{b}f(x){\phi }_i(x)\text{d}x$

若基函数${\phi }_i(x)=x^i(i=0,1,\cdots ,m)$，那么$p(x)$称为$f(x)$在区间$[a,b]$上的m次最佳平方逼近多项式。