第三章 非线性方程求根

3.2 根的搜索

3.2.1 数值求解的一般过程

• 确定根的大概位置，一般称为"根的搜索"；
• 将结果精细化，通常迭代来完成。

3.2.2 根的搜索

1. 作图法，譬如将等式两边图像画出，以此确定交点大概位置。
2. 分析法，利用求导函数、单调性、凹凸性、零点定理等进行分析。
3. 近似方程法，简化方程的方法，将方程中一些变化很小的量暂时忽略。
4. 定步长搜索法，依据零点定理，划分区间，将有根区间减小到需要的长度。效率低、易操作。

3.2.3 二分法

依据也是零点定理。

理论分析：假设$y=f(x)\in C[a,b]$

给定有根区间$[a,b]$，且$f(a)\cdot f(b)<0$，如果将区间进行对分，得到的$[a,\frac{a+b}{2}],[\frac{a+b}{2},b]$中至少有一个是又跟区间。如果$f(a)\cdot f(\frac{a+b}{2})<0$，取$[a,\frac{a+b}{2}]$作为有根区间，新的有根区间$[a_1,b_1]$。重复以上操作。

假设进行了$n$次对分，则小区间的长度变为$\frac{b-a}{2^n}$。

那么可以选取最后一个有根区间的中点作为近似值 $\frac{b-a}{2^{n+1}}\le \epsilon \Rightarrow n\ge {\log }_2\frac{b-a}{\epsilon }-1$， $n$一般向上取整。

3.3 不动点迭代法

3.3.1 方法介绍

满足$x=\phi (x)$的$x$称为映射$\phi$的不动点。

一个不动点迭代算法需要：

• 合适的初值
• 恰当的不动点形式

收敛速度：不动点迭代法的收敛速度至少是线性的。设极限$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{|e_{k+1}|}{|e_k{|}^p}=C$

• 若$p=1$且$C<1$，则称迭代格式线性收敛；
• 若$p>1$，则称迭代格式是超线性收敛；

3.3.2 不动点迭代的收敛定理

设$\phi (x)\in C^1[a,b]$且满足：

1. 如果$x\in [a,b]$，则$\phi (x)\in [a,b]$
2. 存在$L<1$，使得$|{\phi }^{\prime }(x)|\le L<1$对任意$x\in [a,b]$成立。

则如下结论成立：

1. 存在唯一的$x^{\ast }\in [a,b]$，使得$\phi (x^{\ast })=x^{\ast }$；
2. 对任意初值$x_0\in [a,b]$，迭代$x_{k+1}=\phi (x_k)$收敛且$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{k+1}=x^{\ast }$；
3. 事后误差估计：$|x^{\ast }-x_k|\le \frac{L}{1-L}|x_k-x_{k-1}|$
4. 事前误差估计：$|x^{\ast }-x_k|\le \frac{L^k}{1-L}|x_1-x_0|$
5. $e_k=x^{\ast }-x_k$，$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{e_{k+1}}{e_k}={\phi }^{\prime }(x^{\ast })$，即算法至少是线性收敛。

3.4 Newton法

3.4.1 Newton法的导出

对于$x_{k+1}=\phi (x_k)$，若${\phi }^{\prime }(x^{\ast })=0$，则迭代格式至少是2阶收敛。

注：已知结论$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{e_{k+1}}{e_k}={\phi }^{\prime }(x^{\ast })$. 由Taylor展开，

$x^{\ast }-x_{k+1}=\phi (x^{\ast })-\phi (x_k)={\phi }^{\prime }(x^{\ast })(x^{\ast }-x_k)-\frac{{\phi }^{″}({\theta }_k)}{2}(x^{\ast }-x_k{)}^2=-\frac{{\phi }^{″}({\theta }_k)}{2}(x^{\ast }-x_k{)}^2$

所以$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{e_{k+1}}{e_k^2}=-\frac{{\phi }^{″}(x^{\ast })}{2}$。

设$f(x)=0$有根$x^{\ast }$即$f(x^{\ast })=0$，对于一般的函数$f(x)$一种很容易想到的不动点格式为$x=x+f(x)$，而一般$1+f^{\prime }(x)$不为零。引入$h(x)$，并设$h(x^{\ast })\ne 0$，此时$x=x+h(x)f(x)$，$\phi (x)=x+h(x)f(x)$

求导数有${\phi }^{\prime }(x)=1+f^{\prime }(x)h(x)+f(x)h^{\prime }(x)$，令$x^{\ast }$处导数为零，有$h(x^{\ast })=-\frac{1}{f^{\prime }(x^{\ast })}$

得到2阶算法$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime }(x_k)}$

​