第二章 科学计算

2.2.1 误差的来源

截断误差：简单地说，这是算法所导致的误差，当把数学上无限的过程截断就产生了这种误差。

2.2.4 如何进行数据误差分析

定义2.2 如果近似值x的绝对误差限是其某一位的半个单位，且该位直到x的第一位非零数字共有n位，则称x具有n位有效数字，由这个n位有效数字表示的近似数称为有效数。

例1：取$\pi$近似值$x_1=3.14$

$|\pi -3.14|=0.0015926\cdots <0.005=\frac{1}{2}\times {10}^{-2}$

那么，有效数字为3位。

例2：取$\pi$近似值$x_2=3.1416$

$|\pi -3.1416|=0.000007\cdots <0.00005=\frac{1}{2}\times {10}^{-4}$

那么，有效数字有5位。

例3：取$\pi$近似值$x_3=3.1415$

$|\pi -3.1415|=0.00009\cdots <0.0005=\frac{1}{2}\times {10}^{-3}$

那么，有效数字有4位。

例4：$x^{\ast }=-0.045113,x=-0.04518$，问$x^{\ast }$具有几位有效数字？

$|-0.0045113-(-0.04518)|=0.000067<0.0005=\frac{1}{2}\times {10}^{-3}$

那么，有效数字有2位。

实际操作：若$\frac{1}{2}\times {10}^{-n}$，则从小数点后第n位向前数（含第n位）。

在做“比较两算法的近似值”的题目时，直接求两算法的误差，即$e(f(x_1,\cdots ,x_n)),e(g(x_1,\cdots ,x_n))$。

数值稳定性

定义：设有一个算法，如果初始数据有小的误差仅使最终结果产生小的误差，则称该算法是(数值)稳定的，否则称为(数值)不稳定的。

Horner算法例题：

设$f(x)=2+(x-1{)}^2+2(x-1{)}^3+9(x-1{)}^4+7(x-1{)}^5$，用Horner算法计算$f(3),f^{\prime }(3)$

列表法，降幂排列，缺项补零

	7	9	2	1	0	2
$x^{\ast }-a=2$		14	46	96	194	388
	7	23	48	97	194	$390=f(3)$
$x^{\ast }-a=2$		14	74	244	682
	7	37	122	341	$876=f^{\prime }(3)$