浅析极限、导数、三次函数、积分、牛顿迭代、麦克劳林展开、泰勒展开

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写在前面

虽然这是一篇 OI 向的 Blog，但是这一部分的很多内容可能更多偏向于数学，不过毕竟信息与计算科学（或者说计算数学）本身就是基于数学的，所以也无可厚非。（甚至这篇 Blog 的很多东西都整理自学而思预高一时候讲的极限导数与积分等

极限

Tips：极限应为常数。

数列极限

定义

  1. 直观定义：当 $ n \to +\infty $，若 $ a_n \to A \(（\) A $ 为常数，后文同此），则称 $ A $ 是数列 $ a_n $ 的极限（或称 $ a_n $ 收敛于 $ A $），记作 $ \lim\limits_{n \to +\infty} a_n = A $。
  2. 客观定义：对于 $ \forall \epsilon \gt 0 $，若存在 $ N_0 \in N^\ast $ 和常数 $ A $，使得当 $ n \ge N_0 $ 时，$ \lvert a_n - A \rvert \lt \epsilon $，则称 $ A $ 是数列 $ a_n $ 的极限。

Tips：对于其客观定义，我们可以感性理解一下，$ N_0 $ 即代表一个位置，$ n \ge N_0 $ 即代表从该项开始，如此其定义便很好理解了。特别地，对于这种定义，我们称其为 $ \epsilon - N $ 语言。

例子

  1. 对于数列 $ 1, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{8}, \cdots $，显然 $ \lim\limits_{n \to +\infty} a_n = 0 $。

  2. 对于数列 $ 6, 6, 6, \cdots $，显然 $ \lim\limits_{n \to +\infty} a_n = 6 $。

  3. 对于数列 $ 1, 2, 4, 8, \cdots $，显然其无极限，或者说其不收敛。

性质

  1. 若 $ \lim\limits_{n \to +\infty} a_n = A $，且 $ \lim\limits_{n \to +\infty} a_n = B $，则 $ A = B $。（唯一性）
  2. 若 $ \lim\limits_{n \to +\infty} a_n = A \(，\) \lim\limits_{n \to +\infty} b_n = B $，则有：

\[\lim\limits_{n \to +\infty} (a_n \pm b_n) = A \pm B \]

\[\lim\limits_{n \to +\infty} (a_n \times b_n) = A \times B \]

\[\lim\limits_{n \to +\infty} (\dfrac{a_n}{b_n}) = \dfrac{A}{B} (B \neq 0) \]

  1. 若 $ a_n \le c_n \le b_n $，且 $ \lim\limits_{n \to +\infty}a_n = \lim\limits_{n \to +\infty}b_n = A $，则 $ \lim\limits_{n \to +\infty}c_n = A $。

常见数列极限

  1. $ \lim\limits_{n \to +\infty}C = C $。
  2. $ \lim\limits_{n \to +\infty}q^n = 0 (\lvert q \rvert \lt 1) $。
  3. $ \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0 $。
  4. $ \lim\limits_{n \to +\infty} (1 + \dfrac{1}{n})^n = e $。

函数极限

无穷大

  1. $ +\infty $：

直观定义：当 $ x \to +\infty $ 时，若 $ f(x) \to A $，则 $ \lim\limits_{n \to +\infty}f(x) = A $。

客观定义：$ \forall \epsilon \gt 0, \exists N_0, A $，使得 $ x \ge N_0 $ 时，$ \lvert f(x) - A \rvert \lt \epsilon $。

  1. $ -\infty $：

直观定义：当 $ x \to -\infty $ 时，若 $ f(x) \to A $，则 $ \lim\limits_{n \to -\infty}f(x) = A $。

客观定义：$ \forall \epsilon \gt 0, \exists N_0, A $，使得 $ x \le N_0 $ 时，$ \lvert f(x) - A \rvert \lt \epsilon $。

  1. $ \infty $：

直观定义：若 $ \lim\limits_{n \to +\infty}f(x) = \lim\limits_{n \to -\infty}f(x) = A $，则 $ \lim\limits_{n \to \infty}f(x) = A $。

客观定义：$ \forall \epsilon \gt 0, \exists N_0, A $，使得 $ \lvert x \rvert \ge N_0 $ 时，$ \lvert f(x) - A \rvert \lt \epsilon $。

具体点

Tips：几个记号：$ x \to x^- $ 表示从左侧趋*，$ x \to x^+ $ 表示从右侧趋*，$ \bigcup(x_0, \delta) = (x_0 - \delta, x_0 + \delta) $ 表示邻域，$ \bigcup^0(x_0, \delta) = (x_0 - \delta, x_0) \cup (x_0, x_0 + \delta) $ 表示去心邻域。

  1. $ x_0 $ 左极限：

直观定义：当 $ x \to x_0^- $，若 $ f(x) \to A $，则 $ \lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) = A $。

客观定义：$ \forall \epsilon \gt 0, \exists \delta \gt0, A $，使得当 $ x \in (x_0 - \delta, x_0) $ 时，$ \lvert f(x) - A \rvert \lt \epsilon $。

  1. $ x_0 $ 右极限：

直观定义：当 $ x \to x_0^+ $，若 $ f(x) \to A $，则 $ \lim\limits_{x \to x_0^+}f(x) = A $。

客观定义：$ \forall \epsilon \gt 0, \exists \delta \gt0, A $，使得当 $ x \in (x_0, x_0 + \delta) $ 时，$ \lvert f(x) - A \rvert \lt \epsilon $。

  1. $ x_0 $ 极限：

直观定义：若 $ \lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^+}f(x) = A $，则 $ \lim\limits_{x \to x_0}f(x) = A $。

客观定义：$ \forall \epsilon \gt 0, \exists \delta \gt0, A $，使得当 $ x \in \bigcup^0(x_0, \delta) $ 时，$ \lvert f(x) - A \rvert \lt \epsilon $。

Tips：若函数 $ f(x) $ 连续，有 $ f(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}f(x) $。

性质

同数列极限。

常见函数极限

  1. $ \lim\limits_{x \to \infty} (1 + \dfrac{1}{x})^x = e $。
  2. $ \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1 $。（即考虑若 $ x \to 0 $，那么 $ \sin x \approx x \approx \tan x $）

习题

这里虽然有这大量的习题与计算极限的方法，但是显然这与 OI 主流知识点相距较远，故暂时鸽掉，有机会会回来补的。

导数

引入

谈及导数之前，我们先引入一些概念以更好地理解导数。

*均变化率（割线斜率）

我们可以用 $ [x_0, x_0 + \Delta x] $ 或 $ [x_1, x_2] $ 表示一段区间的 $ x $ 变化，那么*均变化率即为：

\[\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \]

瞬时变化率（$ x_0 $处切线斜率）

不难想到，当 $ \Delta x $ 足够小的时候，从实际意义上可以认为在无限小的一段 “时间” 内，也就是一瞬间，那么就是瞬间变化率了。

\[\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \]

例子

如 $ f(x) = x^2 $ 在 $ x = 1 $ 处的瞬时变化率，有：

\[\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{(1 + \Delta x)^2 - 1^2}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0}(\Delta x + 2) = 2 = f'(1) \]

如 $ g(x) = \sin x $ 在 $ x = 0 $ 处的瞬时变化率，有：

\[\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin \Delta x - \sin 0}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x} = 1 = g'(0) \]

定义

函数在一个点处的导数，代数意义上就是该点处的瞬时变化率，几何意义上就是该点处的切线斜率。

不难想到有：

\[f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = y' \mid_{x = x_0} \]

对于导数的存在性问题，显然可以通过定义转换为极限的存在性问题，显然需要满足两个条件：

  1. $ x_0 $ 附*有定义且连续。
  2. $ x_0 $ 附*。*滑。（别问我为什么多加个句号，因为 Luogu 的奇怪的违禁词机制

简而言之就是连续且*滑。

关于连续但不*滑的反例，可以参考 「魏尔斯特拉斯函数」是一个怎样的函数，其有哪些性质，它是如何被构造出来的？，即魏尔斯特拉斯函数，该函数处处连续却处处不可导。值得一提的是上文提到的极限的客观定义似乎也是他提出来的。

导函数

若 $ f(x) $ 在区间 $ I $ 上可导，则 $ f(x) $ 的自变量与 $ f(x) $ 每个点的导数构成映射关系（函数关系），则称该函数为 $ f(x) $ 的导函数（亦简称导数），记作 $ f'(x) $ 或 $ y' $。

故不难理解：

$ f'(x) $ 为函数，对应着 $ f'(x) \mid_{x = x_0} = f'(x_0) $。

$ f'(x_0) $ 为对应的数值。

常见导函数

  1. $ f(x) = C, f'(x) = 0 $。
  2. $ f(x) = x^\alpha, f'(x) = \alpha x^{\alpha - 1} $。
  3. $ f(x) = a^x, f'(x) = a^x \ln a $。
  4. $ f(x) = \log_a^x, f'(x) = \dfrac{1}{x\ln a} $。
  5. $ f(x) = \sin x, f'(x) = \cos x $。
  6. $ f(x) = \cos x, f'(x) = -\sin x $。
  7. $ f(x) = \arcsin x, f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $。
  8. $ f(x) = \arccos x, f'(x) = \dfrac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} $。

如：$ (\dfrac{1}{x})' = -\dfrac{1}{x^2} \(，\) (\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \(，\) (x)' = 1 \(，\) (e^x)' = e^x \(，\) (\ln x)' = \dfrac{1}{x} $。

同时这里还有一个不太常见的导函数，即绝对值求导，可以尝试推导一下：

\[\begin{aligned} & \lvert f \rvert = \lvert f \rvert \\ \iff & \lvert f \rvert^2 = f^2 \\ \iff & (\lvert f \rvert^2)' = (f^2)' \\ \iff & 2 \lvert f \rvert \lvert f \rvert' = 2 f f' \\ \iff & \lvert f \rvert' = \dfrac{f}{\lvert f \rvert}f' \end{aligned} \]

举个例子，$ \lvert x \rvert' = \dfrac{x}{\lvert x\rvert} \(，\) \ln' \lvert x \rvert = \dfrac{1}{\lvert x \rvert}\dfrac{x}{\lvert x\rvert} = \dfrac{1}{x} $。

导数运算

  1. $ (f \pm g)' = f' \pm g' \Rightarrow (kf)' = kf' $。

  2. $ (f \cdot g)' = f' \cdot g + g' \cdot f \Rightarrow (\prod_{i = 1}^n f_i)' = \sum_{i = 1}^n \prod_{j = 1}^{i - 1}f_j f_i' \prod_{j = i + 1}^n f_j $。

  3. $ (\dfrac{f}{g})' = \dfrac{f'g - g'f}{g^2} $。

  4. 复合函数求导：

对于 $ (f(g(x)))' $，令 $ u = g(x) $，则 $ (f(g(x)))' = f'(u)g'(x) $。

$ \Rightarrow f_1(f_2(\cdots f_n(x)))' = f_1' \cdot f_2' \cdots f_n' $。

对于复合函数求导，举个例子：$ \sin'(2x + \dfrac{\pi}{3}) = (2x + \dfrac{\pi}{3})' \cdot \sin' u = 2\cos u = 2\cos(2x + \dfrac{\pi}{3}) $。

习题

//TODO

三次函数

定义

形如 $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d (a \neq 0) $。

单调性

从导函数的定义显而易见地可知，$ f’(x) $ 的正负决定了 $ f(x) $ 的增减。

所以对于一个三次函数来说，显然 $ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c $，且 $ \Delta = 4(b^2 - 3ac) $，以此分类讨论 $ a, \Delta $ 即可知其单调性。

奇偶性与对称性

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零点（根）

//TODO

导数与单调性

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导数与极值最值

//TODO

导数与不等式

//TODO

积分

定积分

关于其定义与表示，只用 latex 似乎难以形象地表示，这里就直接贴一张之前上课时的课件吧：

图片被墙了，请通过文章头的跳转链接访问！

用其标准定义举个例子，如：

\[\begin{aligned} \int_0^1 x^2 \mathrm{d}x &= \lim\limits_{n \to +\infty} \sum_{i = 1}^n \dfrac{1}{n}(\dfrac{i}{n})^2 \\ &= \lim\limits_{n \to +\infty} \sum_{i = 1}^n \dfrac{\sum_{i = 1}^n i^2}{n^3} \\ &= \lim\limits_{n \to +\infty} \sum_{i = 1}^n \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6n^3} \\ &= \lim\limits_{n \to +\infty} \sum_{i = 1}^n \dfrac{2n^3 + 3n^2 + n}{6n^3} \\ &= \dfrac{2}{6} \\ &= \dfrac{1}{3} \end{aligned} \]

不定积分

首先介绍原函数的概念，即若 $ F'(x) = f(x) $，那么则称 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的原函数。

而对 $ f(x) $ 定义域中成立的所有原函数 $ F(x) $ 构成的集合则称为 $ f $ 关于 $ x $ 的不定积分，记作：$ \int f(x) \mathrm{d}x $。

同时我们不难发现，若我们已知其任意原函数 $ F(x) $，则其其它原函数与其的区别仅能为一个常数 $ C $，也就是可以记作：

\[\int f(x) \mathrm{d}x = F(x) + C \]

也就是说我们若想要计算一个不定积分，只需要找到其的一个原函数，并加上常数项 $ C $ 即可。

方法可以简述为：先定性，再定量，最后添加常数项。

下面举几个例子：

  1. $ f(x) = x^2 + x + 1, F(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 + x + C $。
  2. $ f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x} = x + \dfrac{1}{x} (x \gt 0), F(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + \ln x + C $。
  3. $ f(x) = \dfrac{1}{x}, F(x) = \ln \lvert x\rvert + C $。
  4. $ f(x) = e^{-x}, F(x) = -e^{-x} + C $。
  5. $ f(x) = \sin(2x + \dfrac{\pi}{3}), F(x) = -\dfrac{1}{2} \cos(2x + \dfrac{\pi}{3}) + C $。

微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）

\[\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a) = F(x) \vert_a^b \]

其中 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的原函数。

证明：

\[\begin{aligned} \int_a^b f(x) \mathrm{d}x &= \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{b - a}{n} \sum_{i = 1}^n f(x_i) \\ &= \lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{b - a}{n} \sum_{i = 1}^n \dfrac{F(x_i) - F(x_{i - 1})}{x_i - x_{i - 1}} \\ &= \lim\limits_{n \to +\infty} \sum_{i = 1}^n F(x_i) - F(x_{i - 1}) \\ &= F(x_n) - F(x_{0}) \\ &= F(b) - F(a) \end{aligned} \]

这其中大多数步骤都很显然，唯一可能需要理解一下的就是这样的一个转化。

\[\lim\limits_{n \to +\infty}\sum_{i = 1}^n f(x_i) = \lim\limits_{n \to +\infty} \sum_{i = 1}^n \dfrac{F(x_i) - F(x_{i - 1})}{x_i - x_{i - 1}} \]

这个东西的感性证明可以讲后式认为是对 $ F'(x) $ 也就是 $ f(x) $ 的定义的展开，即瞬时变化率，具体来说*均变化率在每一段 $ (x_{i - 1}, x_i) $，或者说 $ \Delta x \to 0 $ 的时候也就是瞬时变化率了。

更严谨点证明也可以考虑拉格朗日微分中值定理，即：

\[\sum_{i = 1}^n (F(x_i) - F(x_{i - 1})) = \sum_{i = 1}^n f(\xi_i)(x_i - x_{i - 1}), \xi_i \in (x_{i - 1}, x_i) \]

而这个东西的 $ a = x_1 \lt x_2 \lt \cdots \lt x_n = b $ 是任意分割的，故对于黎曼可积（不严谨地说就是间断点有限）的函数，分割的段数趋*于正无穷，那么每一段的大小就足够小，可以认为在极限意义下就是上界或者下界，换言之可以认为此时 $ \xi_i = x_i \(，\) \mathrm{QED} $。

牛顿迭代

其一般解决的就是解高次方程的问题，例如我们想要求 $ f(x) = m $，可以先转换为 $ g(x) = f(x) - m = 0 $，也就是转化为一般的求零点的问题。

其核心就是考虑对于一个曲线的切线，当考虑的部分足够小的时候，切线可以认为是和曲线重合的。

于是考虑任选一个点 $ (x_{n}, f(x_n)) $，以该点做要求的函数（令其为 $ f(x) $）切线，显然切线斜率为 $ f'(x_n) $，且存在直线上的点 $ (x_n, f(x_n)) $，那么由点斜式可知该切线方程为 $ f'(x_n) = \dfrac{y - f(x_n)}{x - x_n} $，我们想要知道该方程的新的零点，令其为 $ (x_{n + 1}, 0) $，则有 $ f'(x_n) = \dfrac{-f(x_n)}{x_{n + 1} - x_n} \(，移项可得：\) x_{n + 1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} $，当得到新的零点 $ (x_{n + 1}, 0) $ 时，我们按照之前的思路继续迭代下去，可以证明迭代次数足够大时，在初始点选择正确的情况下最终答案将会是收敛的，且收敛于原方程的根。

在 OI 中一般会在多项式里用到牛顿迭代，而这一般不需要考虑所谓的选点问题，更多的套路可能是用泰勒展开证明精度会翻倍等，这里的原因不太清楚，待补。

麦克劳林展开

UPD

update-2023_02_08 初稿

posted @ 2023-03-05 12:53  Tsawke  阅读(42)  评论(0)  编辑  收藏  举报