浅析极限、导数、三次函数、积分、牛顿迭代、麦克劳林展开、泰勒展开

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  • 写在前面
  • 极限
    • 数列极限
      • 定义
      • 例子
      • 性质
      • 常见数列极限
    • 函数极限
      • 无穷大
      • 具体点
      • 性质
      • 常见函数极限
    • 习题
  • 导数
    • 引入
      • *均变化率（割线斜率）
      • 瞬时变化率（$x_0$处切线斜率）
      • 例子
    • 定义
    • 导函数
    • 常见导函数
    • 导数运算
    • 习题
  • 三次函数
    • 定义
    • 单调性
    • 奇偶性与对称性
    • 零点（根）
  • 导数与单调性
  • 导数与极值最值
  • 导数与不等式
  • 积分
    • 定积分
    • 不定积分
    • 微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）
  • 牛顿迭代
  • 麦克劳林展开
  • UPD

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写在前面

虽然这是一篇 OI 向的 Blog，但是这一部分的很多内容可能更多偏向于数学，不过毕竟信息与计算科学（或者说计算数学）本身就是基于数学的，所以也无可厚非。（甚至这篇 Blog 的很多东西都整理自学而思预高一时候讲的极限导数与积分等

极限

Tips：极限应为常数。

数列极限

定义

1. 直观定义：当 $n\to +\mathrm{\infty }$，若 $ a_n \to A $（$ A $\mathrm{为}\mathrm{常}\mathrm{数}，\mathrm{后}\mathrm{文}\mathrm{同}\mathrm{此}），\mathrm{则}\mathrm{称}$ A $\mathrm{是}\mathrm{数}\mathrm{列}$ a_n $\mathrm{的}\mathrm{极}\mathrm{限}（\mathrm{或}\mathrm{称}$ a_n $\mathrm{收}\mathrm{敛}\mathrm{于}$ A $），\mathrm{记}\mathrm{作}$ \lim\limits_{n \to +\infty} a_n = A $。
2. 客观定义：对于 $\mathrm{\forall }ϵ>0$，若存在 $N_0\in N^{\ast }$ 和常数 $A$，使得当 $n\ge N_0$ 时，$|a_n-A|<ϵ$，则称 $A$ 是数列 $a_n$ 的极限。

Tips：对于其客观定义，我们可以感性理解一下，$N_0$ 即代表一个位置，$n\ge N_0$ 即代表从该项开始，如此其定义便很好理解了。特别地，对于这种定义，我们称其为 $ϵ-N$ 语言。

例子

1. 对于数列 $1,-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{4}},-{\displaystyle \frac{1}{8}},\cdots$，显然 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$。

2. 对于数列 $6,6,6,\cdots$，显然 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=6$。

3. 对于数列 $1,2,4,8,\cdots$，显然其无极限，或者说其不收敛。

性质

1. 若 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A$，且 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=B$，则 $A=B$。（唯一性）
2. 若 $ \lim\limits_{n \to +\infty} a_n = A $，$ \lim\limits_{n \to +\infty} b_n = B $，则有：

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(a_n\pm b_n)=A\pm B$$

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(a_n\times b_n)=A\times B$$

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}({\displaystyle \frac{a_n}{b_n}})={\displaystyle \frac{A}{B}}(B\ne 0)$$

3. 若 $a_n\le c_n\le b_n$，且 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=A$，则 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{c}_n=A$。

常见数列极限

1. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}C=C$。
2. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{q}^n=0(|q|<1)$。
3. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{n}}=0$。
4. $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(1+{\displaystyle \frac{1}{n}}{)}^n=e$。

函数极限

无穷大

1. $+\mathrm{\infty }$：

直观定义：当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时，若 $f(x)\to A$，则 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$。

客观定义：$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }{N}_0,A$，使得 $x\ge N_0$ 时，$|f(x)-A|<ϵ$。

2. $-\mathrm{\infty }$：

直观定义：当 $x\to -\mathrm{\infty }$ 时，若 $f(x)\to A$，则 $\underset{n\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$。

客观定义：$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }{N}_0,A$，使得 $x\le N_0$ 时，$|f(x)-A|<ϵ$。

3. $\mathrm{\infty }$：

直观定义：若 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{n\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$，则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$。

客观定义：$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }{N}_0,A$，使得 $|x|\ge N_0$ 时，$|f(x)-A|<ϵ$。

具体点

Tips：几个记号：$x\to x^{-}$ 表示从左侧趋*，$x\to x^{+}$ 表示从右侧趋*，$\bigcup (x_0,\delta )=(x_0-\delta ,x_0+\delta )$ 表示邻域，$\bigcup ^0(x_0,\delta )=(x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta )$ 表示去心邻域。

1. $x_0$ 左极限：

直观定义：当 $x\to x_0^{-}$，若 $f(x)\to A$，则 $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=A$。

客观定义：$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0,A$，使得当 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 时，$|f(x)-A|<ϵ$。

2. $x_0$ 右极限：

直观定义：当 $x\to x_0^{+}$，若 $f(x)\to A$，则 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=A$。

客观定义：$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0,A$，使得当 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时，$|f(x)-A|<ϵ$。

3. $x_0$ 极限：

直观定义：若 $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=A$，则 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$。

客观定义：$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0,A$，使得当 $x\in \bigcup ^0(x_0,\delta )$ 时，$|f(x)-A|<ϵ$。

Tips：若函数 $f(x)$ 连续，有 $f(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$。

性质

同数列极限。

常见函数极限

1. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+{\displaystyle \frac{1}{x}}{)}^x=e$。
2. $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1$。（即考虑若 $x\to 0$，那么 $\sin x\approx x\approx \tan x$）

习题

这里虽然有这大量的习题与计算极限的方法，但是显然这与 OI 主流知识点相距较远，故暂时鸽掉，有机会会回来补的。

导数

引入

谈及导数之前，我们先引入一些概念以更好地理解导数。

*均变化率（割线斜率）

我们可以用 $[x_0,x_0+\mathrm{\Delta }x]$ 或 $[x_1,x_2]$ 表示一段区间的 $x$ 变化，那么*均变化率即为：

$${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}={\displaystyle \frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}}={\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}$$

瞬时变化率（$x_0$处切线斜率）

不难想到，当 $\mathrm{\Delta }x$ 足够小的时候，从实际意义上可以认为在无限小的一段 “时间” 内，也就是一瞬间，那么就是瞬间变化率了。

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}}$$

例子

如 $f(x)=x^2$ 在 $x=1$ 处的瞬时变化率，有：

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{(1+\mathrm{\Delta }x{)}^2-1^2}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}(\mathrm{\Delta }x+2)=2=f^{\prime }(1)$$

如 $g(x)=\sin x$ 在 $x=0$ 处的瞬时变化率，有：

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\Delta }x-\sin 0}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin \mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}}=1=g^{\prime }(0)$$

定义

函数在一个点处的导数，代数意义上就是该点处的瞬时变化率，几何意义上就是该点处的切线斜率。

不难想到有：

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}}=y^{\prime }{\mid }_{x=x_0}$$

对于导数的存在性问题，显然可以通过定义转换为极限的存在性问题，显然需要满足两个条件：

1. $x_0$ 附*有定义且连续。
2. $x_0$ 附*。*滑。（别问我为什么多加个句号，因为 Luogu 的奇怪的违禁词机制

简而言之就是连续且*滑。

关于连续但不*滑的反例，可以参考 「魏尔斯特拉斯函数」是一个怎样的函数，其有哪些性质，它是如何被构造出来的？，即魏尔斯特拉斯函数，该函数处处连续却处处不可导。值得一提的是上文提到的极限的客观定义似乎也是他提出来的。

导函数

若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导，则 $f(x)$ 的自变量与 $f(x)$ 每个点的导数构成映射关系（函数关系），则称该函数为 $f(x)$ 的导函数（亦简称导数），记作 $f^{\prime }(x)$ 或 $y^{\prime }$。

故不难理解：

$f^{\prime }(x)$ 为函数，对应着 $f^{\prime }(x){\mid }_{x=x_0}=f^{\prime }(x_0)$。

$f^{\prime }(x_0)$ 为对应的数值。

常见导函数

1. $f(x)=C,f^{\prime }(x)=0$。
2. $f(x)=x^{\alpha },f^{\prime }(x)=\alpha x^{\alpha -1}$。
3. $f(x)=a^x,f^{\prime }(x)=a^x\ln a$。
4. $f(x)={\log }_a^x,f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{x\ln a}}$。
5. $f(x)=\sin x,f^{\prime }(x)=\cos x$。
6. $f(x)=\cos x,f^{\prime }(x)=-\sin x$。
7. $f(x)=\arcsin x,f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$。
8. $f(x)=\arccos x,f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}}$。

如：$ (\dfrac{1}{x})' = -\dfrac{1}{x^2} $，$ (\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} $，$ (x)' = 1 $，$ (e^x)' = e^x $，$ (\ln x)' = \dfrac{1}{x} $。

同时这里还有一个不太常见的导函数，即绝对值求导，可以尝试推导一下：

$$\begin{array}{rl}& |f|=|f|\\ ⟺& |f{|}^2=f^2\\ ⟺& (|f{|}^2{)}^{\prime }=(f^2{)}^{\prime }\\ ⟺& 2|f||f{|}^{\prime }=2f{f}^{\prime }\\ ⟺& |f{|}^{\prime }={\displaystyle \frac{f}{|f|}}{f}^{\prime }\end{array}$$

举个例子，$ \lvert x \rvert' = \dfrac{x}{\lvert x\rvert} $，$ \ln' \lvert x \rvert = \dfrac{1}{\lvert x \rvert}\dfrac{x}{\lvert x\rvert} = \dfrac{1}{x} $。

导数运算

1. $(f\pm g{)}^{\prime }=f^{\prime }\pm g^{\prime }\Rightarrow (kf{)}^{\prime }=k{f}^{\prime }$。

2. $(f\cdot g{)}^{\prime }=f^{\prime }\cdot g+g^{\prime }\cdot f\Rightarrow (\prod _{i=1}^n{f}_i{)}^{\prime }=\sum _{i=1}^n\prod _{j=1}^{i-1}{f}_j{f}_i^{\prime }\prod _{j=i+1}^n{f}_j$。

3. $({\displaystyle \frac{f}{g}}{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{f^{\prime }g-g^{\prime }f}{g^2}}$。

4. 复合函数求导：

对于 $(f(g(x)){)}^{\prime }$，令 $u=g(x)$，则 $(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)$。

$\Rightarrow f_1(f_2(\cdots f_n(x)){)}^{\prime }=f_1^{\prime }\cdot f_2^{\prime }\cdots f_n^{\prime }$。

对于复合函数求导，举个例子：${\sin }^{\prime }(2x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})=(2x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}{)}^{\prime }\cdot {\sin }^{\prime }u=2\cos u=2\cos (2x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$。

习题

//TODO

三次函数

定义

形如 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d(a\ne 0)$。

单调性

从导函数的定义显而易见地可知，$f^{\prime }(x)$ 的正负决定了 $f(x)$ 的增减。

所以对于一个三次函数来说，显然 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$，且 $\mathrm{\Delta }=4(b^2-3ac)$，以此分类讨论 $a,\mathrm{\Delta }$ 即可知其单调性。

奇偶性与对称性

//TODO

零点（根）

//TODO

导数与单调性

//TODO

导数与极值最值

//TODO

导数与不等式

//TODO

积分

定积分

关于其定义与表示，只用 latex 似乎难以形象地表示，这里就直接贴一张之前上课时的课件吧：

用其标准定义举个例子，如：

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x& =\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{1}{n}}({\displaystyle \frac{i}{n}}{)}^2\\ & =\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n{i}^2}{n^3}}\\ & =\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}}\\ & =\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3}}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{6}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$$

不定积分

首先介绍原函数的概念，即若 $F^{\prime }(x)=f(x)$，那么则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数。

而对 $f(x)$ 定义域中成立的所有原函数 $F(x)$ 构成的集合则称为 $f$ 关于 $x$ 的不定积分，记作：$\int f(x)\mathrm{d}x$。

同时我们不难发现，若我们已知其任意原函数 $F(x)$，则其其它原函数与其的区别仅能为一个常数 $C$，也就是可以记作：

$$\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$$

也就是说我们若想要计算一个不定积分，只需要找到其的一个原函数，并加上常数项 $C$ 即可。

方法可以简述为：先定性，再定量，最后添加常数项。

下面举几个例子：

1. $f(x)=x^2+x+1,F(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x+C$。
2. $f(x)={\displaystyle \frac{x^2+1}{x}}=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}(x>0),F(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+\ln x+C$。
3. $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}},F(x)=\ln |x|+C$。
4. $f(x)=e^{-x},F(x)=-e^{-x}+C$。
5. $f(x)=\sin (2x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}),F(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos (2x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})+C$。

微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)=F(x){|}_a^b$$

其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数。

证明：

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x& =\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{b-a}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_i)\\ & =\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{b-a}{n}}\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{F(x_i)-F(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}}\\ & =\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}F(x_i)-F(x_{i-1})\\ & =F(x_n)-F(x_0)\\ & =F(b)-F(a)\end{array}$$

这其中大多数步骤都很显然，唯一可能需要理解一下的就是这样的一个转化。

$$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}f(x_i)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{F(x_i)-F(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}}$$

这个东西的感性证明可以讲后式认为是对 $F^{\prime }(x)$ 也就是 $f(x)$ 的定义的展开，即瞬时变化率，具体来说*均变化率在每一段 $(x_{i-1},x_i)$，或者说 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 的时候也就是瞬时变化率了。

更严谨点证明也可以考虑拉格朗日微分中值定理，即：

$$\sum _{i=1}^n(F(x_i)-F(x_{i-1}))=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1}),{\xi }_i\in (x_{i-1},x_i)$$

而这个东西的 $a=x_1<x_2<\cdots <x_n=b$ 是任意分割的，故对于黎曼可积（不严谨地说就是间断点有限）的函数，分割的段数趋*于正无穷，那么每一段的大小就足够小，可以认为在极限意义下就是上界或者下界，换言之可以认为此时 $ \xi_i = x_i $，$ \mathrm{QED} $。

牛顿迭代

其一般解决的就是解高次方程的问题，例如我们想要求 $f(x)=m$，可以先转换为 $g(x)=f(x)-m=0$，也就是转化为一般的求零点的问题。

其核心就是考虑对于一个曲线的切线，当考虑的部分足够小的时候，切线可以认为是和曲线重合的。

于是考虑任选一个点 $(x_n,f(x_n))$，以该点做要求的函数（令其为 $f(x)$）切线，显然切线斜率为 $f^{\prime }(x_n)$，且存在直线上的点 $(x_n,f(x_n))$，那么由点斜式可知该切线方程为 $f^{\prime }(x_n)={\displaystyle \frac{y-f(x_n)}{x-x_n}}$，我们想要知道该方程的新的零点，令其为 $(x_{n+1},0)$，则有 $ f'(x_n) = \dfrac{-f(x_n)}{x_{n + 1} - x_n} $，\mathrm{移}\mathrm{项}\mathrm{可}\mathrm{得}：$ x_{n + 1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} $，\mathrm{当}\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{新}\mathrm{的}\mathrm{零}\mathrm{点}$ (x_{n + 1}, 0) $ 时，我们按照之前的思路继续迭代下去，可以证明迭代次数足够大时，在初始点选择正确的情况下最终答案将会是收敛的，且收敛于原方程的根。

在 OI 中一般会在多项式里用到牛顿迭代，而这一般不需要考虑所谓的选点问题，更多的套路可能是用泰勒展开证明精度会翻倍等，这里的原因不太清楚，待补。

麦克劳林展开

UPD

update-2023_02_08 初稿