浅析生成函数

浅析生成函数

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• 浅析生成函数
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  • 定义
  • OGF（普通生成函数）
  • EGF（指数生成函数）
  • CGF（组合生成函数）
  • PGF（概率生成函数）
  • UPD

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定义

生成函数（Generating Function），又称母函数，其严谨一点的定义：序列 $a_n$ 的生成函数是一种形式幂级数，每一项的系数会提供关于这个序列的信息。

更详细地解释一下，就是对于函数中第 $i$ 项的系数就代表了序列第 $i$ 项的值，但是不同于一般的函数 $G(x)$，这里的 $x$ 的取值并不会对其本身的意义有任何影响，这种函数就被称作形式幂级数。

OGF（普通生成函数）

引入生成函数，最好的例子应该就是多重集的组合了，容斥思想的做法可以参考 浅析排列组合、卡特兰数、斯特林数、贝尔数、二项式定理与推论及其反演、子集反演、广义容斥、范德蒙德卷积 - 多重集的排列组合数。

而另一种思想，不难发现这就是个简单的背包，我们可以考虑对每种物品，假设第 $i$ 种物品有 $n_i$ 个，共有 $k$ 种，则：

第 $i$ 个物品的生成函数为：$G_i(x)=1+x^1+x^2+\cdots +x^{n_i}$。

若我们将所有生成函数乘在一起，则 $\prod _{i=1}^k{G}_i(x)$ 的第 $\alpha$ 项即为多重集选择 $\alpha$ 个的组合数的答案。

考虑证明，感性理解一下显然对于两个多项式的卷积 $f\ast g$，有 $ (f \ast g)k = \sum^k f_ig_{k - i} $，\mathrm{这}\mathrm{个}\mathrm{式}\mathrm{子}\mathrm{即}\mathrm{在}\mathrm{枚}\mathrm{举}\mathrm{从}$ f $\mathrm{物}\mathrm{品}\mathrm{中}\mathrm{选}\mathrm{择}$ i $\mathrm{个}\mathrm{的}\mathrm{方}\mathrm{案}\mathrm{数}\mathrm{与}$ g $\mathrm{中}\mathrm{选}\mathrm{择}$ k - i $\mathrm{个}\mathrm{的}\mathrm{方}\mathrm{案}\mathrm{数}\mathrm{通}\mathrm{过}\mathrm{乘}\mathrm{法}\mathrm{原}\mathrm{理}\mathrm{合}\mathrm{成}\mathrm{的}\mathrm{共}\mathrm{选}\mathrm{择}$ k $ 个的方案数。

而对于这种形如 $G(x)=\sum a_i{x}^i$ 的生成函数，称其为普通生成函数，即 OGF。

OGF 在多项式相乘时的形式即为：$\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}$。

EGF（指数生成函数）

而对于多重集的非全排列，似乎就不可以通过容斥原理处理了（或者我不会），于是我们可以引入一种新的生成函数。

还是考虑类似的问题，即多重集的排列，了解这个我们可以先想到多重集的全排列，具体可以从上文的链接去看细节，这里仅简单提一下：

$$P={\displaystyle \frac{N!}{\prod _{i=1}^k{n}_k!}}$$

也就是从排列数中去掉每一种的总个数，对于非全排列，也不难想到其即为从每种组合方案中进行排列并除以对应的分母。

于是引入指数生成函数，即 EGF，具体来讲其形式为：$G(x)=\sum a_i{\displaystyle \frac{x^i}{i!}}$。

对于多重集的排列，则对于每个集合的 $n_i$ 构造：

$$G_i(x)=1+{\displaystyle \frac{x}{1!}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{x^{n_i}}{n_i!}}$$

然后全部乘在一起得到：

$$\prod _{i=1}^k{G}_i(x)$$

然后从中选择 $m$ 个元素的方案数即该式的 $m$ 次项系数乘上 $m!$ 即为答案。

EGF 在多项式相乘时的形式为 ${\displaystyle \frac{1}{n!}}\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a_i{b}_{n-i}$。这个东西也比较显然，展开化简后可得。

CGF（组合生成函数）

组合生成函数，形如：

$$G(x)=\sum a_i{\displaystyle \frac{x^i}{i!2^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{2})}}}$$

CGF 在多项式相乘时的形式为 $ \dfrac{1}{n!2^{n \choose 2}}\sum_{i = 0}^n {n \choose i}2^{i(n - i)}a_ib_{n - i} $，\mathrm{意}\mathrm{义}\mathrm{上}\mathrm{很}\mathrm{好}\mathrm{理}\mathrm{解}，$ 2^{i(n - i)} $ 就是在枚举两者之间的边的方向。

用于解决的是有标号有向图计数，资料不足剩余待补。

PGF（概率生成函数）

对于随机变量 $ X $，\mathrm{有}\mathrm{其}\mathrm{概}\mathrm{率}\mathrm{生}\mathrm{成}\mathrm{函}\mathrm{数}：$ G(x) = \sum_i P{X = i }x^i $。

显然 $G(1)=\sum _{i}PX=i=1$。

同时对 $G(x)$ 求导有 $G^{\prime }(x)=\sum _{i}PX=ii{x}^{i-1}$。

则 $G^{\prime }(1)=\sum _{i}PX=ii=E(X)$。

而对于高阶导数，或者说 $k$ 阶导数，有 $G^{(k)}(1)=E(X^{\underset{―}{k}})$，这个东西我们考虑对一个多项式求导，展开得到 $G^{(k)}(1)=\sum _{i}PX=i\prod _{i=0}^{k-1}(i-k)$，也就是其 $k$ 阶导数的意义为 $k$ 次下降幂的期望。

同时对于方差有：${\sigma }^2=E(X^2)-E(X{)}^2=G^{″}(1)+G^{\prime }(1)-(G^{\prime }(1){)}^2$。

证明：

首先考虑 $G^{″}(1)$，有 $G^{″}(1)=E(X(X-1))$，也就是 $\sum _{i}PX=ii(i-1)$ 把这个转化一下就是：$\sum _{i}PX=i{i}^2-\sum _{i}PX=ii$，也就是 $E(X^2)-E(X)$，那么有 $E(X^2)-E(X)=G^{″}(1)$，又有 $E(X)=G^{\prime }(1)$，那么 $ E(X^2) = E(X) + G''(1) = G'(1) + G''(1) $，\mathrm{带}\mathrm{入}，$ \mathrm{QED} $。

然后 PGF 在多项式相乘的形式为 $\sum _{i=0}^{n}PX=iPY=n-i$，当然也可形象地记为 $PX+Y=n$。

同时不难发现第二种记法同时体现出了其中的一个性质，即 $F_X(x)\ast F_Y(x)=F_{X+Y}(x)$。

感觉下一部分内容今天写不完了，先这些，下一部分写完之后再 update。

UPD

update-2023_02_07 初稿