浅析生成函数
浅析生成函数
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定义
生成函数(Generating Function),又称母函数,其严谨一点的定义:序列
更详细地解释一下,就是对于函数中第
OGF(普通生成函数)
引入生成函数,最好的例子应该就是多重集的组合了,容斥思想的做法可以参考 浅析排列组合、卡特兰数、斯特林数、贝尔数、二项式定理与推论及其反演、子集反演、广义容斥、范德蒙德卷积 - 多重集的排列组合数。
而另一种思想,不难发现这就是个简单的背包,我们可以考虑对每种物品,假设第
第
若我们将所有生成函数乘在一起,则
考虑证明,感性理解一下显然对于两个多项式的卷积
而对于这种形如
OGF 在多项式相乘时的形式即为:
EGF(指数生成函数)
而对于多重集的非全排列,似乎就不可以通过容斥原理处理了(或者我不会),于是我们可以引入一种新的生成函数。
还是考虑类似的问题,即多重集的排列,了解这个我们可以先想到多重集的全排列,具体可以从上文的链接去看细节,这里仅简单提一下:
也就是从排列数中去掉每一种的总个数,对于非全排列,也不难想到其即为从每种组合方案中进行排列并除以对应的分母。
于是引入指数生成函数,即 EGF,具体来讲其形式为:
对于多重集的排列,则对于每个集合的
然后全部乘在一起得到:
然后从中选择
EGF 在多项式相乘时的形式为
CGF(组合生成函数)
组合生成函数,形如:
CGF 在多项式相乘时的形式为 $ \dfrac{1}{n!2^{n \choose 2}}\sum_{i = 0}^n {n \choose i}2^{i(n - i)}a_ib_{n - i}
用于解决的是有标号有向图计数,资料不足剩余待补。
PGF(概率生成函数)
对于随机变量 $ X
显然
同时对
则
而对于高阶导数,或者说
同时对于方差有:
证明:
首先考虑
,有 ,也就是 把这个转化一下就是: ,也就是 ,那么有 ,又有 ,那么 $ E(X^2) = E(X) + G''(1) = G'(1) + G''(1) \mathrm{QED} $。
然后 PGF 在多项式相乘的形式为
同时不难发现第二种记法同时体现出了其中的一个性质,即
感觉下一部分内容今天写不完了,先这些,下一部分写完之后再 update。
UPD
update-2023_02_07 初稿
本文作者:tsawke
本文链接:https://www.cnblogs.com/tsawke/p/17124395.html
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