[ABC261E] Many Operations 题解
[ABC261E] Many Operations Solution
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题面
给定正整数 $ X $，给定 $ n $ 条运算，每条包含 $ T_i, A_i $，代表若：
$ T_i = 1 $，则 $ X \leftarrow X \land A_i $。
$ T_i = 2 $，则 $ X \leftarrow X \lor A_i $。
$ T_i = 3 $，则 $ X \leftarrow X \oplus A_i $。
对于第 $ i $ 条运算，会顺序执行 $ [1, i] $ 的所有运算，求最终 $ X $ 的值。
Solution
发现这个执行类似前缀和，但对于不同的初始的数执行这些按位操作的时候结果是不同的，或者说其不能直接合并，所以不能一般地做前缀和。
不难发现按位运算的性质，即每一位之间都是独立的，不会像加法那样由进位操作，所以不难想到对于每一位分开考虑，显然初始时对应位只能为 $ 0 $ 或 $ 1 $，分别做一下前缀和即可。然后按位将 $ X $ 拆分并分别运算再组合即可。
同时显然我们可以通过 bitset 的构造函数来快速将十进制转二进制，并通过 bitset 的 to_ulong() 函数转为 unsigned long，并通过 bitset 加速按位运算。
最终复杂度 $ O(n\dfrac{\log X}{w}) $，因为此处 $ \log $ 最大不超过 $ 32 $，所以我们可以认为复杂度是线性的，即 $ O(n) $。
Update：复杂度还是 $ O(n\log X) $ 的，因为最后计算法案的时候还有个枚举。
Code
#define _USE_MATH_DEFINES
#include <bits/stdc++.h>
#define PI M_PI
#define E M_E
#define npt nullptr
#define SON i->to
#define OPNEW void* operator new(size_t)
#define ROPNEW(arr) void* Edge::operator new(size_t){static Edge* P = arr; return P++;}
using namespace std;
mt19937 rnd(random_device{}());
int rndd(int l, int r){return rnd() % (r - l + 1) + l;}
bool rnddd(int x){return rndd(1, 100) <= x;}
typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long unll;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
template < typename T = int >
inline T read(void);
int X, N;
int T[210000];
bitset < 32 > A[210000];
bitset < 32 > sum0[210000], sum1[210000];
int main(){
sum0[0].reset(), sum1[0].set();
N = read(), X = read();
for(int i = 1; i <= N; ++i){
T[i] = read(), A[i] = bitset < 32 >(read());
switch(T[i]){
case 1:{
sum0[i] = sum0[i - 1] & A[i];
sum1[i] = sum1[i - 1] & A[i];
break;
}
case 2:{
sum0[i] = sum0[i - 1] | A[i];
sum1[i] = sum1[i - 1] | A[i];
break;
}
case 3:{
sum0[i] = sum0[i - 1] ^ A[i];
sum1[i] = sum1[i - 1] ^ A[i];
break;
}
default:break;
}
}
bitset < 32 > ans(X);
for(int i = 1; i <= N; ++i){
for(int j = 0; j < 32; ++j)
ans[j] = ans[j] ? sum1[i][j] : sum0[i][j];
printf("%lu\n", ans.to_ulong());
}
fprintf(stderr, "Time: %.6lf\n", (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC);
return 0;
}
template < typename T >
inline T read(void){
T ret(0);
int flag(1);
char c = getchar();
while(c != '-' && !isdigit(c))c = getchar();
if(c == '-')flag = -1, c = getchar();
while(isdigit(c)){
ret *= 10;
ret += int(c - '0');
c = getchar();
}
ret *= flag;
return ret;
}
UPD
update-2022_12_24 初稿
update-2022_12_24 修改一个错误
