[ABC253E] Distance Sequence 题解

[ABC253E] Distance Sequence Solution

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题面

给定 $ n, m, k $，求有多少序列 $ a_n $，满足：

• $ 1 \le a_i \le m (1 \le i \le m) $。
• $ \lvert a_i - a_{i + 1} \rvert \ge k (1 \le i \le n - 1) $。

Solution

一看题意和数据范围，DP 显然，不难想到设状态 $ dp(i, j) $ 为长度为 $ i $ 的以 $ j $ 为结尾的合法序列的方案数。也不难想到一个 $ \texttt{2D1D} $ 的转移，即：

\[dp(i, j) = \sum_{k = j + k}^{m}dp(i - 1, k) + \sum_{k = 1}^{j - k}dp(i - 1, k) \]

同时注意转移前需要判断是否满足 $ j + k \le m $ 和 $ j - k \ge 1 $。然后这个式子也很显然可以前缀和优化成 $ \texttt{2D0D} $，最后复杂度也就是 $ O(nm) $ 的。然后滚动数组也可以压掉一维，不过没必要，空间开的下。

然后按照这个做完会发现 WA 了两个点，具体看一下就会发现，按照这个式子，如果 $ k = 0 $，那么 $ dp(i - 1, j) $ 就会被加两次，所以此时还需要特判一下减去一个 $ dp(i - 1, j) $。

Code

#define _USE_MATH_DEFINES
#include <bits/stdc++.h>

#define PI M_PI
#define E M_E
#define npt nullptr
#define SON i->to
#define OPNEW void* operator new(size_t)
#define ROPNEW(arr) void* Edge::operator new(size_t){static Edge* P = arr; return P++;}

using namespace std;

mt19937 rnd(random_device{}());
int rndd(int l, int r){return rnd() % (r - l + 1) + l;}
bool rnddd(int x){return rndd(1, 100) <= x;}

typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long unll;
typedef long long ll;
typedef long double ld;

#define MOD (ll)(998244353ll)

template < typename T = int >
inline T read(void);

int N, M, K;
ll dp[1100][5100];
ll sum[5100];

int main(){
    N = read(), M = read(), K = read();
    for(int i = 1; i <= M; ++i)dp[1][i] = 1, sum[i] = i;
    for(int i = 2; i <= N; ++i){
        for(int j = 1; j <= M; ++j){
            (dp[i][j] += j + K <= M ? (sum[M] - sum[j + K - 1] + MOD) % MOD : 0) %= MOD;
            (dp[i][j] += j - K >= 1 ? sum[j - K] : 0) %= MOD;
            if(!K)(dp[i][j] += -(sum[j] - sum[j - 1]) + MOD) %= MOD;
        }
        for(int j = 1; j <= M; ++j)
            sum[j] = (sum[j - 1] + dp[i][j]) % MOD;
    }printf("%lld\n", sum[M]);
    fprintf(stderr, "Time: %.6lf\n", (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC);
    return 0;
}

template < typename T >
inline T read(void){
    T ret(0);
    int flag(1);
    char c = getchar();
    while(c != '-' && !isdigit(c))c = getchar();
    if(c == '-')flag = -1, c = getchar();
    while(isdigit(c)){
        ret *= 10;
        ret += int(c - '0');
        c = getchar();
    }
    ret *= flag;
    return ret;
}

UPD

update-2022_12_05 初稿