LG-P4184 [USACO18JAN]Sprinklers P 题解

LG-P4184 [USACO18JAN]Sprinklers P Solution

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题面

$n\times n$ 的网格图（$n$个格点，从 $(0,0)$ 到 $(n-1,n-1)$），给定 $n$ 个点的坐标 $(i,j)$，保证任意两个坐标的横或纵均不相等，每个点会对 $\mathrm{\forall }(x,y),x\in [i,n-1],y\in [j,n-1]$ 进行洒水，对 $\mathrm{\forall }(x,y),x\in [0,i],y\in [0,j]$ 进行施肥，要求选出一片矩形，使得其中每个格点都既浇水又施肥，求方案数。

或者也可以描述为，给定 $n$ 个关键点，要求选一个矩形使得其中左上右下各自至少有一个关键点，求方案数。

$1\le n\le {10}^5$。

Solution

前言：核心思路参考自 这篇Blog，主要是我太弱了，有点没太看懂这个大佬柿子的精妙推导，于是尝试自己推了一遍，用比较低端的方法也成功推到 $O(n)$ 了，故提供一种更无脑一些的推柿子的方法。

一道奇怪的题，最终可以转化为无脑推柿子。

首先借一个题解区的图（图片来自 这篇Blog）：

不难发现一个妙妙性质，即在第 $i$ 行里，我们假设可行的矩形的左右端点为 $[l_i,r_i]$，那么 $l_i$ 即为在其不在其下面的所有关键点横坐标的最小值，$r_i$ 为不在其上面的最大值，按照这个规律我们也可以处理出来对于每一列纵坐标可行的最小值 $u{p}_i$，然后可以写一个 $O(n^4)$ 的类似二位数点矩形的东西，再化简。前面这里如果还是看不懂可以去翻翻题解区，这里不再重复赘述。令 $(i,j)$ 为右下端点，$(x,y)$ 为左上端点，有答案为：

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n\sum _{j=l_i}^{r_i}\sum _{y=l_i}^{j-1}\sum _{x=u{p}_y}^{i-1}1& =\sum _{i=1}^n\sum _{j=l_i}^{r_i}\sum _{y=l_i}^{j-1}(i-u{p}_y)\\ & =\sum _{i=1}^n(\sum _{j=l_i}^{r_i}(j-l_i)i-\sum _{j=l_i}^{r_i}\sum _{y=l_i}^{j-1}u{p}_y)\\ & =\sum _{i=1}^n(i({\displaystyle \frac{1}{2}}(l_i+r_i)(r_i-l_i+1)-(r_i-l_i+1)l_i)-\sum _{j=l_i}^{r_i}\sum _{y=l_i}^{j-1}u{p}_y)\\ & =\sum _{i=1}^n(i({\displaystyle \frac{1}{2}}(r_i-l_i)(r_i-l_i+1))-\sum _{j=l_i}^{r_i}\sum _{y=l_i}^{j-1}u{p}_y)\end{array}$$

然后我们令 $sum{1}_n=\sum _{i=1}^{n}u{p}_i$，再令 $sum{2}_n=\sum _{i=1}^{n}sum{1}_i$，有：

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^n(i({\displaystyle \frac{1}{2}}(r_i-l_i)(r_i-l_i+1))-\sum _{j=l_i}^{r_i}\sum _{y=l_i}^{j-1}u{p}_y)\\ =& \sum _{i=1}^n(i({\displaystyle \frac{1}{2}}(r_i-l_i)(r_i-l_i+1))-\sum _{j=l_i}^{r_i}(sum{1}_{j-1}-sum{1}_{l_i-1}))\\ =& \sum _{i=1}^n(i({\displaystyle \frac{1}{2}}(r_i-l_i)(r_i-l_i+1))-\sum _{j=l_i}^{r_i}sum{1}_{j-1}+(r_i-l_i+1)sum{1}_{l_i-1})\\ =& \sum _{i=1}^n(i({\displaystyle \frac{1}{2}}(r_i-l_i)(r_i-l_i+1))-\sum _{j=l_i-1}^{r_i-1}sum{1}_j+(r_i-l_i+1)sum{1}_{l_i-1})\\ =& \sum _{i=1}^n(i({\displaystyle \frac{1}{2}}(r_i-l_i)(r_i-l_i+1))-sum{2}_{r_i-1}+sum{2}_{l_i-2}+(r_i-l_i+1)sum{1}_{l_i-1})\end{array}$$

然后就成功从 $O(n^4)$ 推到 $O(n)$ 了。

Code

#define _USE_MATH_DEFINES
#include <bits/extc++.h>

#define PI M_PI
#define E M_E
#define npt nullptr
#define SON i->to
#define OPNEW void* operator new(size_t)
#define ROPNEW(arr) void* Edge::operator new(size_t){static Edge* P = arr; return P++;}

using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;

mt19937 rnd(random_device{}());
int rndd(int l, int r){return rnd() % (r - l + 1) + l;}
bool rnddd(int x){return rndd(1, 100) <= x;}

typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long unll;
typedef long long ll;
typedef long double ld;

#define MOD (ll)(1e9 + 7)
#define GetSum1(x) ((x) > 0 ? sum1[x] : 0)
#define GetSum2(x) ((x) > 0 ? sum2[x] : 0)

template< typename T = int >
inline T read(void);

int N;
int y[110000];
int l[110000], r[110000], up[110000];
ll sum1[110000];
ll sum2[110000];

int main(){
    N = read();
    for(int i = 1; i <= N; ++i){
        int rx = read() + 1, ry = read() + 1;
        y[rx] = ry;
    }l[0] = INT_MAX; r[N + 1] = -1;
    for(int i = 1; i <= N; ++i)l[i] = min(l[i - 1], y[i]);
    for(int i = N; i >= 1; --i)r[i] = max(r[i + 1], y[i]);
    int cur = r[1];
    for(int i = 1; i <= N; ++i)while(cur && cur >= l[i])up[cur] = i, --cur;
    for(int i = 1; i <= N; ++i)sum1[i] = (sum1[i - 1] + up[i]) % MOD;
    for(int i = 1; i <= N; ++i)sum2[i] = (sum2[i - 1] + sum1[i]) % MOD;
    ll ans(0);
    for(int i = 1; i <= N; ++i){
        ans = (ans + ((ll)r[i] - l[i]) * (r[i] - l[i] + 1) / 2ll % MOD * i % MOD) % MOD;
        ans = (ans - GetSum2(r[i] - 1) + GetSum2(l[i] - 2) + MOD) % MOD;
        ans = (ans + ((ll)r[i] - l[i] + 1) * GetSum1(l[i] - 1) % MOD) % MOD;
    }printf("%lld\n", ans);
    fprintf(stderr, "Time: %.6lf\n", (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC);
    return 0;
}

template < typename T >
inline T read(void){
    T ret(0);
    short flag(1);
    char c = getchar();
    while(c != '-' && !isdigit(c))c = getchar();
    if(c == '-')flag = -1, c = getchar();
    while(isdigit(c)){
        ret *= 10;
        ret += int(c - '0');
        c = getchar();
    }
    ret *= flag;
    return ret;
}

UPD

update-2022_11_03 初稿