KMP算法

KMP算法

一 . 问题场景

有字符串A和字符串B，求B在A中首次出现的位置。力扣题目链接:28. 找出字符串中第一个匹配项的下标 - 力扣（LeetCode）

为方便说明，规定A为主串，B为子串(模式串)

二. 朴素的匹配算法

为方便说明，举A = "aabaaf"，B="aaf"

使用如下图所示的算法(图中只显示了前两趟匹配)

代码实现如下

class Solution {
    public int strStr(String haystack, String needle) {
        for(int index = 0; index <= haystack.length() - needle.length(); index++){
            int i = index;
            int j = 0;

            while(j <= needle.length() - 1){
                if(haystack.charAt(i) == needle.charAt(j)){
                    if(j == needle.length() - 1){
                        return index;
                    }
                    i++;
                    j++;
                }else{
                    break;
                }
            }
        }
        return -1;
    }
}

三. KMP算法

1.算法由来

因为是由这三位学者发明的：Knuth，Morris和Pratt，所以取了三位学者名字的首字母。所以叫做KMP

2.算法思想

在匹配主串aabaaf与子串aaf的第一趟匹配中，是在b和f的位置发生的失配，说明前两个位置的字符是匹配上的。利用这个信息，我们可以在回溯时，不让index变为index + 1，i往回退，而是只让j往回走。

如图所示

如果在发生失配的模式串的前一部分，满足A1=A2，由于前一部分已经匹配上了，所以有B1=A1，B2=A2，所以有A1=B2，所以在下一次匹配时，应直接让i不动，j移动到n的位置进行匹配。每次发生失配时，j现在的位置 -> j之后的位置构成的映射可以用一个函数来表示，即next[j现在的位置] = j之后的位置，只要算出这个映射，接下来再在每次失配时根据映射next查找j应该在的位置，就完成了模式串匹配。

3.next求法

为求解next数组，规定字符串前缀：除最后一个字符外的其他字符构成的字符串；字符串后缀：除第一个字符外其他字符构成的字符串。字符串s的next数组为next[i] = s[0 : i + 1]的最长相等前后缀(s[i : j]为s中[i, j)的字符)。

3.1 手算过程

比如，对于aaabaaac

0处字符为a，没有前后缀，next[0] = 0;

1处字符为aa，前缀为a，后缀为a，最长相等前后缀为a，next[1] = 1;

......

6处字符为aaabaaa，前缀为aaabaa，后缀为aabaaa，找最长相等的前后缀过程(手算过程，机器实现不是这样，因为复杂度太高)

考虑aaabaa和aabaaa，两者不同

考虑aaaba和abaaa，两者不同

考虑aaab和baaa，两者不同

考虑aaa和aaa，两者相同，所以最长相等前后缀为aaa，长度为3，next[6] = 3；

7处同理。

其next数组为{0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0}

3.2 机算过程

显然上面手算方法的复杂度达到了O(N^2)，不可取，应使用动态规划的方式进行求解。

求next[i]的值，分两种情况讨论:

定义now = next[i - 1]，即最长前缀的后一个位置

step1

s[i] == s[now]：

由于A1 == A2，s[now] == s[i]

所以A1 + s[now] == A2 + s[i]，即B1 = B2

又由于A1，A2是最长相同前后缀，

所以B1，B2是最长相同前后缀，使用反证法证明如下：

假设B1，B2不是最长相同前后缀，C1，C2才是最长相同前后缀(假设是多a个，但图中显示的是多1个，因为比较好看)

如图所示

C1 - 多的a个 = D1

C2 - 多的a个 = D2

显然D1 == D2，

而 D1 = A1 + now > A1

这与A1，A2是最长相同前后缀矛盾

所以B1，B2是最长相同前后缀

step2

s[i] != s[now] ：

因为s[i] != s[now]，所以要减少B1的长度，但又要减少的尽可能少

如图所示

已知A = B，要找到尽量大的A1，使得A1 = B2

即找A中最长前缀A1与B中最长后缀B2，

而A = B

所以就转化为在A中，找最长相等前后缀，即找最长A1 = A2

所以now1 = next[now - 1]

此时若s[now1] == s[i]，则A1 + s[now1] 和B2 + s[i]为最长相等前后缀

重复该过程，到最后有两种情况

• 找到s[now] = s[i]

  则A1 + s[now1] 和B2 + s[i]为最长相等前后缀，s[i] = now + 1

• 最后now = 0时s[now] != s[i]

  说明没有相等前后缀，s[i] = 0

用cpp写的伪代码如下(求解过程在注释中)

void getNext1(int* next, const string& s){
    next[0] = 0;
    //i指示是求谁的next数组
    for(int i = 1; i < s.length(); i++){
        //定义s[0: now]指的是{s[0], s[1], ..., s[now - 1]}

        //now指示最长前缀的后一个位置
        int now = next[i - 1];
        
        //step1(s[now] == s[i])
        //此时，在s[0 : i]中，有s[0 : now] == s[i - now : i]，且为最长相等前后缀，长度为now   (next[i - 1] == now) (条件1)
        //如果s[now] == s[i]，则有s[0 : now + 1] == s[i - now : i + 1]
        //假设在s[0 : i + 1]中，s[0 : now + 1]不是最长相等前缀，s[0 : now + 1 + t]才是
        //那么s[0 : now + 1 + t] == s[i - now - t : i + 1]
        //那么s[0 : now + t] == s[i - now - t : i]，其长度为now + t，且为s[0 : i]中相等的前后缀
        //这与条件1矛盾
        //所以在s[0 : i + 1]中，s[0 : now + 1]是最长相等前缀，因此可以算得s[0 : i + 1]的最长相等前后缀长度为now + 1
        if(s[now] == s[i]){
            next[i] = now + 1;
            continue;
        }

        /*step2(s[now] != s[i])
        此时，在s[0 : i]中，有s[0 : now] == s[i - now : i]，且为最长相等前后缀，长度为now   (next[i - 1] == now) (条件1)
        如果s[now] != s[i]，就要减小now到k，使得s[0 : k] == s[i - k : i]，k < now，求k值
        令next[now - 1] = t，显然t < now (条件2)
        则在s[0 : now]中，s[0 : t] == s[now - t : now] 
        又由条件1，s[0 : now] == s[i - now : i]，
        所以，s[0 : t] == s[i - now : i - now + t] == s[i - t : i]
        即s[0 : t] == s[i - t : i]，t < now
        所以t就是我们要的k，所以k = t = next[now - 1] (条件2)，此时再比较s[k]是否==s[i]，不等就继续到step2
        直到s[k] == s[i]或者k == 0
        */

        /*
        如果循环到最后s[k] == s[i]，就使用step1的逻辑(即使是因为k == 0出来的也一样)
        如果循环到最后s[k] != s[i]，说明到前后缀没有公共部分，取0即可
        */
        while(now >= 1 && s[now] != s[i]){
            now = next[now - 1];
        }
        if(s[now] == s[i]){
            next[i] = now + 1;
        }else{
            next[i] = 0;
        }
    }
}

4.匹配过程

匹配的过程如下所示

public int strStr(String haystack, String needle) {
        int[] next = getNext(needle);
        int i = 0; //指示主串
        int j = 0; //指示子串

        while(i < haystack.length()){
            if(haystack.charAt(i) == needle.charAt(j)){ //i与j匹配上了
                if(j == needle.length() - 1){ //i与j匹配到了子串末尾，说明匹配成功
                    return (i - needle.length() + 1);
                }
                i++;
                j++;
            }else{ //i与j没有匹配上
                //失配的位置不是needle[0]
                if(j != 0){
                    j = next[j - 1];
                }else{//失配的位置是needle[0]
                    i++;
                }
            }
        }

        return -1;
    }

5.完整代码

完整代码如下所示

class Solution {
    public int strStr(String haystack, String needle) {
        int[] next = getNext(needle);
        int i = 0; //指示主串
        int j = 0; //指示子串

        while(i < haystack.length()){
            if(haystack.charAt(i) == needle.charAt(j)){
                if(j == needle.length() - 1){
                    return (i - needle.length() + 1);
                }
                i++;
                j++;
            }else{
                //失配的位置不是needle[0]
                if(j != 0){
                    j = next[j - 1];
                }else{//失配的位置是needle[0]
                    i++;
                }
            }
        }

        return -1;
    }

    //求next数组
    public static int[] getNext(String s){
        int[] next = new int[s.length()];
        next[0] = 0;

        //求1到s.length() - 1的next，i为所求的next数组的位置
        for(int i = 1; i < next.length - 1; i++){
            //now始终为最长相同前后缀中，相同前缀的后一个位置
            int now = next[i - 1];

            //处理s[i] == s[now]
            if(s.charAt(i) == s.charAt(now)){
                next[i] = now + 1;
                continue;
            }

            //处理s[i] != s[now]
            while(now >= 1 && s.charAt(i) != s.charAt(now)){
                now = next[now - 1];
            }
            if(s.charAt(i) == s.charAt(now)){
                next[i] = now + 1;
            }else{
                next[i] = 0;
            }
        }

        return next;
    }
}