【小学期实训】附加题题解——Good Karma

[状压dp+容斥原理] 实训附加题——Good Karma

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题目描述

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题目

「天空度假山庄」中有一个 $n$ 点 $m$ 边的无向图，图中点的编号分别为 $1,2,\cdots \hspace{0.17em},n$，边的编号分别为 $1,2,\cdots \hspace{0.17em},m$。

度假山庄已经很久没有打扫了，因此图中的边已经模糊不清。

具体来说：

• 第 $i$ 条边连接的两个端点分别为 $u_i$ 和 $v_i$。
• 这条边上落下了许多灰尘，因此云浅有 $p_i$ 的概率看不到这条边。这里保证 $0\le p_i\le 1,p_i\in Q$。

在云浅看到的图中，若 $1$ 号点所在的连通块大小为 $x$，则云浅会认为这张图的「美观程度」为$x^2$。

云浅想要求出这张图的「美观程度」的期望值。她还要帮 $Oshiro$ 打扫山庄，因此她找到了你求助。

为了避免精度误差，本题的输入输出格式较为特殊，详细信息将在【输入格式】与【输出格式】中说明。

输入格式

第一行两个正整数 $n,m$。

接下来 $m$ 行，第 $i+1$ 行有 $4$ 个正整数 $ui,vi,xi,yi$，表示一条边。其中：

• $u_i,v_i$ 表示这条边的两个端点。
• 云浅看不到这条边的概率即为 $p_i=\frac{x_i}{x_i+y_i}$。

输出格式

一行一个正整数表示这张图的「美观程度」的期望值。

为了避免精度误差，你只需要求出答案对 $998244353$ 取模后的值即可。

更具体地，设答案为 $\frac{A}{B}$，其中 $gcd(A,B)=1$，你需要输出一个 $C$ 使得 $B\times C\equiv A( mod 998244353)$。

可以证明这样的 $C$ 一定存在且唯一。

数据范围

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$1\le n\le 17,1\le m\le \frac{n(n-1)}{2},1\le x_i,y_i<998244353,x_i+y_i\ne 998244353$。

测试点编号	$n$	$m$
$1\sim 2$	$=8$	$\le 12$
$3\sim 4$	$=9$	$\le 12$
$5\sim 6$	$=10$	$\le 15$
$7\sim 8$	$=11$	$\le 25$
$9\sim 10$	$=12$	$\le 30$
$11\sim 12$	$=13$	$\le 40$
$13\sim 14$	$=14$	$\le \frac{n(n-1)}{2}$
$15\sim 16$	$=15$	$\le \frac{n(n-1)}{2}$
$17\sim 18$	$=16$	$\le \frac{n(n-1)}{2}$
$19\sim 20$	$=17$	$\le \frac{n(n-1)}{2}$

格式说明

输出时每行末尾的多余空格，不影响答案正确性

输入、输出要求

要求使用「文件输入、输出」的方式解题，输入文件为 karma.in，输出文件为 karma.out

样例输入1

4 4
1 2 1 1
2 3 1 2
3 1 1 3
2 4 2 3

样例输出1

465847375

样例输入2

2 2
1 2 1 8
2 1 2 4

样例输出2

554580200

样例解释2

图拓扑为 $1$ 和 $2$ 之间连接了两条边。

设 $1$ 所在连通块大小为 $x$。

连接 $1$ 和 $2$ 的两条边不被看见的概率分别为 $\frac{1}{9}$ 和 $\frac{1}{3}$。因此 $x^2=1$ 当且仅当两条边都不被看见，概率为 $\frac{1}{27}$。$x^2=4$ 以概率 $\frac{26}{27}$ 取到。

故答案为$\frac{1}{27}\times 1+\frac{26}{27}\times 4=\frac{35}{9}$.

由于 $9\times 554580200\equiv 35( mod 998244353)$，因此你应该输出 $554580200$。

Solution

注意到 $n\le 17$ ，并且题目与集合的枚举(要求枚举与 $1$ 连通的连通块)有关，容易想到用状压dp来做这道题。

解决这道题目的关键，在于状态如何设计以及如何进行转移

设 $d{p}_S$ 表示 最终与点 $1$ 连通的点集为 $S$ （其中对于边 $(u,v)$ 的端点 $u$ 和 $v$，必须满足 $u$ 和 $v$ 都在集合 $S$ 当中），$S$ 内部连通的概率 ，$S$ 之外的点的连通性不考虑在其中。

如何求出 $d{p}_S$ ？

——我们可以枚举符合条件的 $S$ 的子集 $T$ ：考虑 $S$ 中 包含点 $1$ 的 真子集 $T$ ，$T$ 是连通的，而 $T$ 和 $S-T$ （${\complement }_{S}T$）不能有连通的点

因此我们可以构建一个辅助数组 $g$ ， $g(A,B)$ 表示 点集 $A$ 与点集 $B$ 不连通的概率，$g(T,S-T)$ 即为我们需要的。

如何求 $g(A,B)$ ？ 实际上，$g(A,B)$ 其实就是 对于 $\mathrm{\forall }u\in A,v\in B$，边 $(u,v)$ 必须不连通。题目中 $p(u,v)$ 指的是 边 $(u,v)$ 不连起来的概率。形式化地来描述，$g(A,B)={\displaystyle \prod _{u\in A\bigwedge v\in B}p(u,v)}$

如果要预处理出 $g(A,B)$ ，需要 $O(4^n)$ 的空间，显然不现实。

注意到 $g(A,B)$ 其实就是 $A$ 与 $B$ 之间的任意一条边都不连通。可以再设一个辅助数组 $w(A)$ 表示集合 $A$ 中任意一条边都不连起来， $w(A)$ 比较好求

即有 $g(A,B)=\frac{w(A\cup B)}{w(A)\times w(B)}$ ，很容易理解：$w(A\cup B)$ 表示 集合 $A\cup B$ 中任意一条边都不连起来 ，从其中除去 $w(A)$ ( $A$ 中任意一条边都不连起来) 和 $w(B)$ ( $B$ 中任意一条边都不连起来) ，得到的结果就是 $A$ 与 $B$ 之间的任意一条边都不连起来的概率。

最后我们可以得到 $d{p}_S$ 的转移方程 ： $d{p}_S=1-{\displaystyle \sum _{1\in T\bigwedge T⊊S}^{m}d{p}_T\times g(T,S-T)}$

答案则是：$ans={\displaystyle \sum _{1\in S}^{}d{p}_S\times g(S,U-S)\times |S{|}^2}$，$d{p}_S$ 是$S$ 内部连通的概率，乘上 $g(S,U-S)$ 表示不与 $S$ 之外的点连通，乘上 $|S{|}^2$ 即为题目所求的期望。

附上代码：

#include <stdio.h>
#define N (17+5)
#define ST ((1<<17)+5)
typedef long long LL;
int n,m,sz;
LL mp[N][N];
LL w[ST],invw[ST];
LL dp[ST];
const LL p=998244353;
LL qpow(LL a,LL b,LL p){
	LL res=1;
	while(b){
		if(b&1) res=res*a%p;
		a=a*a%p;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
LL inv(LL a,LL p){
	return qpow(a,p-2,p); 
}
void get_w(){                   //求w数组
	for(int k=0;k<=sz;k++){
		w[k]=1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<i;j++){
			for(int k=0;k<=sz;k++){
				if(k&(1<<(i-1))||k&(1<<(j-1))) continue;
				int st=k;
				st|=(1<<(i-1)),st|=(1<<(j-1));      //(i,j)边不连通
				w[st]=(w[st]*mp[i][j])%p;           //乘进w[st]中
			}
		}
	}
	for(int k=0;k<=sz;k++){   //预处理出逆元
		invw[k]=inv(w[k],p);
	}
}
LL g(int a,int b){            //求辅助函数g
	return w[a+b]*invw[a]%p*invw[b]%p;
}
void solve(){
	for(int i=1;i<=sz;i+=2){                //枚举包含点1的集合S
		dp[i]=0;
		for(int j=(i-1)&i;j;j=(j-1)&i){     //枚举S的子集T
			if((j&1)==0) continue;          //T也要包含点1
			dp[i]=(dp[i]+(dp[j]*g(j,i-j))%p)%p;
		}
		dp[i]=(1-(dp[i])+p)%p;
	}
	LL ans=0;
	for(int i=1;i<=sz;i+=2){
		int k=0,st=i;
		while(st){
			if(st&1) k++;
			st>>=1;
		}
		ans=(ans+dp[i]*g(i,sz-i)%p*k%p*k%p)%p;
	}
	printf("%lld\n",ans);
}
int main(){
    freopen("karma.in","r",stdin);
    freopen("karma.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int u,v;
	LL x,y;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			mp[i][j]=1;
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%lld%lld",&u,&v,&x,&y);
		if(u==v) continue; 
		mp[u][v]=mp[u][v]*x%p*inv((x+y)%p,p)%p;
		mp[v][u]=mp[u][v];
	}
	sz=(1<<n)-1;
	get_w();
	solve();
	return 0;
}