【线性dp】 [SCOI2009]粉刷匠

点个关注点个赞吧

• 一道比较简单的线性dp题目

前置知识：会手推一些简单的状态转移方程、较为熟练地掌握背包问题模型

[SCOI2009]粉刷匠

题目描述

windy有 $N$ 条木板需要被粉刷。 每条木板被分为 $M$ 个格子。 每个格子要被刷成红色或蓝色。

windy每次粉刷，只能选择一条木板上一段连续的格子，然后涂上一种颜色。 每个格子最多只能被粉刷一次。

如果windy只能粉刷 $T$ 次，他最多能正确粉刷多少格子？

一个格子如果未被粉刷或者被粉刷错颜色，就算错误粉刷。

输入格式

第一行包含三个整数，$N$ $M$ $T$。

接下来有$N$行，每行一个长度为$M$的字符串，'$0$'表示红色，'$1$'表示蓝色。

输出格式

包含一个整数，最多能正确粉刷的格子数。

样例 #1

样例输入 #1

3 6 3
111111
000000
001100

样例输出 #1

16

提示

$30$%的数据，满足 $1<=N,M<=10；0<=T<=100$ 。

$100$%的数据，满足 $1<=N,M<=50；0<=T<=2500$ 。

---

解题过程

• $N$ 条木板，只能刷$T$次，求最多能正确粉刷多少格子，而且每个格子只能被刷一次；
  刷错和不刷都算没有正确粉刷
  
  

• 似乎有点难以思考？

  好像每刷一次，既不知道刷的起点在哪儿，也不知道刷到哪个位置停下，然后换另一种颜色；

  而且，中间好像还可以空一些格子不刷颜色；

  那我们先放一放 😃
  
  

• 有一点是很显然的：木板的长度是$M$，所以显然一条木板最少刷$1$次（全部一次性刷完，刷一种颜色），最多刷$M$次（每个格子都用对应的颜色去刷，每次刷的连续区间长度为1）；

$I$：假设现在我告诉你，每一条木板刷$k$次能得到正确粉刷的格子的最大值，你会做这道题吗？


$Y$：这个简单！不就是已知每个木板刷$k$次的价值，总共刷$T$次，求最大价值！

• 典型的背包啊，还是个分组的，$T$是背包总容量，$k$是每个物品的体积，一条木板从$1$ ~ $m$的粉刷次数对应的价值就是一个组，只能取其中的一个（你总不可能搞出两个同一条木板来粉刷吧），也就是常见的背包模型：共有$N$个组，每个组里有$M$个物品，每个物品都有一个体积($1$ ~ $m$)和价值($1$ ~ $m$)，背包容量为$T$，求最大价值

• 完美的解决了一半问题

  可是我们要怎么知道每一条木板刷$k$次，能得到的正确粉刷格子的最大值呢？

  这个问题呢，确实是一个问题

方法一(经典作法)

• 对于每一条木板，我们思考，如何计算出粉刷$k$次后每条木板能得到的最大正确粉刷格子数

• 状态设的好，转移随便搞。 ————沃·兹基硕德

$I$：你觉得怎么设状态比较合适？


$Y$：我觉得吧，假设从左往右刷，对于接下来的刷格子的行为，之前刷了多少个格子，以及刷了多少次比较重要，可以考虑设状态时把这几个量加进去

• 所以我们可以设$dp[i][j][k]$表示对于第$i$块木板，这一次刷刷到了第$j$个格子，总共刷了$k$次；

  怎么转移呢？

  我们可以枚举上一次刷格子刷到了哪个位置(假设是$l$)，然后刷的次数肯定是$k-1$次，则转移很容易弄出：$dp[i][j][k]=maxdp[i][l][k-1]+w[l+1][j]$

  其中$w[l][r]$表示这块木板一次性从$l$刷到$r$能最多正确刷对的格子数（这一段无非就是全刷$1$或者全刷$0$，比较一下哪种更好，$w$数组预处理一下就好）

• 那这个转移就搞定了 😃 ，是不是很容易呢，代码就不贴了，懒得写

  最后的最后把$dp$数组当成物品，去做背包，这个题就搞定了，耶！

$Y$：Wait！那如果空着格子不刷呢？


$I$：宝，刷错和不刷是等价的啦，与去说空着一些格子不刷，我还不如就刷错呢，更方便计算与转移呀。其实这是一个小小的贪心啦！

方法二(Truman_2022瞎整的，好像没看到用这个方法的人)

• 可以思考一下每次就只刷$1$格，如何做呢？

• 那如果是这样，似乎上一次刷格子，刷的是$0$还是$1$也很重要

• 那么我们可以这样设状态：（比方法一要差，因为$dp$数组空间是法一的两倍，但在可接受范围内，而且不用预处理$w$数组，各有优劣吧）

  $dp[i][j][k][0/1]$表示第$i$块木板，刷了$k$次，刷了$j$个格子，第$j$个格子刷的是$0$还是$1$所能的到的最大涂正确的格子数

那么对于现在涂到了第$j$个格子，分类讨论：

• 如果第$j$个格子原本应该涂成$0$，那么我有给它涂成$1$和涂成$0$两种方案：

  如果我给它涂成$0$，正确涂格子数肯定要$+1$，但是上一次怎么涂的呢？我们又要分类讨论：

  1.上一次如果涂的也是$0$，我们可以选择将这次涂格子的过程合并到上次，即仍然总共只涂了$k$次
  
  

dp[i][j][k][0]=max(dp[i][j][k][0],dp[i][j-1][k][0]+1);

2.假设上一次仍然是涂的$0$，你说，我偏不，我要重新开始涂，这是新的开始！那么这次涂了$k$次，上次自然就是涂了$k-1$次

dp[i][j][k][0]=max(dp[i][j][k][0],dp[i][j-1][k-1][0]+1);

3.那如果上次涂的是$1$呢？你说，我想和上次合并！~~gun (ノ｀Д)ノ ！~~ 必然不可能，因为这次涂的是 $0$，那么这次涂了$k$次，上次自然也就是涂了$k-1$次

dp[i][j][k][0]=max(dp[i][j][k][0],dp[i][j-1][k-1][1]+1);

• 如果第$j$个格子原本应该涂成$1$，那么情况就和刚才的几乎一样啦，就是把$0$和$1$反过来了：

• 最后的最后的最后，对于法二，贴个代码呗

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N (50+1)
#define T (2500+1)
#define endl "\n"
int n,m,t;
string wood[N];
int dp1[N][N][N][2];//dp1，第i(以下代码里面为u)块木板，刷了k次，刷了j(以下代码里面为i)个格子，第j(以下代码里面为i)个格子刷的是0还是1所能的到的最大涂正确的格子数
int dp2[N][T];//dp2,背包
void solve1_linerdp(int u){//solve1，线性dp，算dp1
	dp1[u][0][0][0]=dp1[u][0][0][1]=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		for(int k=1;k<=i;k++){
			if(wood[u][i]=='0'){
				dp1[u][i][k][0]=max(dp1[u][i][k][0],dp1[u][i-1][k][0]+1);
				dp1[u][i][k][0]=max(dp1[u][i][k][0],dp1[u][i-1][k-1][0]+1);
				dp1[u][i][k][0]=max(dp1[u][i][k][0],dp1[u][i-1][k-1][1]+1);
				dp1[u][i][k][1]=max(dp1[u][i][k][1],dp1[u][i-1][k][1]);
				dp1[u][i][k][1]=max(dp1[u][i][k][1],dp1[u][i-1][k-1][0]);
			}
			else{
				dp1[u][i][k][1]=max(dp1[u][i][k][1],dp1[u][i-1][k-1][1]+1);
				dp1[u][i][k][1]=max(dp1[u][i][k][1],dp1[u][i-1][k][1]+1);
				dp1[u][i][k][1]=max(dp1[u][i][k][1],dp1[u][i-1][k-1][0]+1);
				dp1[u][i][k][0]=max(dp1[u][i][k][0],dp1[u][i-1][k][0]);
				dp1[u][i][k][0]=max(dp1[u][i][k][0],dp1[u][i-1][k-1][1]);
			}
		}
	}
}
void solve2_backpack(){//solve2，算背包
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int w=1;w<=m;w++){
			int c=max(dp1[i][m][w][0],dp1[i][m][w][1]);
			for(int j=t;j>=0;j--){
				if(j-w>=0) dp2[i][j]=max(dp2[i][j],dp2[i-1][j-w]+c);
			}
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=t;i++){
		ans=max(ans,dp2[n][i]);
	}
	cout<<ans<<endl;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n>>m>>t;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>wood[i],wood[i]=" "+wood[i];
	memset(dp1,-0x3f,sizeof(dp1));
	for(int i=1;i<=n;i++){
		solve1_linerdp(i);
	}
	solve2_backpack();
	return 0;
}

全剧终

尾声：md写题解也太浪费时间了吧，以后有空(比如放长假了)再玩玩儿吧，bye~

屑题解