【学术】Color-Coding 随机染色

子图同构

图同构定义：对于图 $G=(V,E)$ 和 $G'=(V',E')$ ，如果存在双射函数 $f:V\to V'$ ，使得 $(v_i,v_j)\in E$ 当且仅当 $(f(v_i),f(v_j))\in E'$ ，则称 $G$ 与 $G'$ 同构，记作 $G\cong G'$ 。

子图同构问题：给定点数为 $n$ 的图 $G=(V,E)$ 和点数为 $k$ 的模式图 $H=(V_H,E_H)$ ，问是否存在一个 $G$ 的子图 $G'$ 满足 $G'\cong H$ 。如果存在，输出 $G'$ 的一种方案。

子图同构问题是 NP-hard 问题。对于子图同构的特殊情况：

判断图中是否有长度为 $k$ 的简单路径。（k-path 问题）
判断图中是否有长度为 $k$ 的简单环。

由于当 $k=n$ 时这两者等价于哈密顿路/回路，也是 NP-hard 的。但是当 $k=O(\log n)$ 时有多项式复杂度。也就是通过 Color-Coding 随机染色。

k-path 问题（log-path）

构造映射 $f$ ，将每个点随机染色为 $k$ 种颜色之一，然后找到一个点数为 $k$ 的子图其中颜色两两不同，那么称找到一个同构子图。

找到子图的过程使用状压 dp 即可， $dp_{u,S}$ 表示路径端点在 $u$ 点且使用了 $S$ 中的颜色，此处不过多赘述。正确性显然是很低的，不难发现只有 $P=\dfrac{k!}{k^k}$ ，若运行 $T$ 次错误率便降到 $P'=(1-P)^T$ ，令 $λ=\dfrac1 P$ ，反复迭代可以得到结论：

$T=λ-1$ 时，错误率降为约 $\dfrac 1 e$ 。

原理是 $\lim\limits_{n\to \infty}\left(1+\dfrac 1n\right)^n=e$ 。而 $\lambda=2^{O(k)}$ ，算上单次运行，总时间复杂度为 $-2^{O(k)}m\log P'$ ，当 $k=O(\log n)$ ，令 $m=O(n^2)$ 便有多项式复杂度。若是追求确定性算法，构造大小为 $2^{O(k)}\log n$ 的映射 $f$ 的集合 $F$ ，但在 OI 中或许比较 useless。

对于模式图 $H$ 是树，和寻找 $k$ 元环的方式在 OI 中极不寻常，所以不做赘述。需要的看文末的参考文献。

将 Color-Coding 在 OI 中运用

※ Color-Coding 总是和斯坦纳树一起出现。先考虑颜色范围 $<k$ 时使用斯坦纳树状压 dp 的暴力做法后，使用 Color-Coding 随机来优化。

对于 k-path 问题我没有什么例题， [CSP-S 2022] 假期计划确实可以使用 k-path 去做。

[THUSCH2017] 巧克力

对于此题详细解法看我的2023杂题乱做中巧克力一题的解析。此题映射的方式与我们上文阐述的方式完全相同，是一道 Color-Coding 模板题。

treemax

给定一棵有点、边权的树，需要你选择一个点集 $S$ ，点集大小最多为 $k$ 且点集中点权两两不同，使点集中的点形成的生成树边权和最大，输出最大边权和。 $n\le 4000,k\le 5$ 。

对于这种 $k$ 极小而颜色范围不固定的问题，想要做 Color-Coding 先从弱化版入手：考虑若所有颜色范围在 $[0,k)$ 中。这个思路极为重要，在上面的几道题中也是一样的入手方向。

和斯坦纳树一样的方式， $dp_{u,S}$ 表示考虑 $u$ 子树，选择的点集 $S$ ，此时生成树的最大边权和。转移和斯坦纳树一样，不讲了。然后使用 Color-Coding 优化。做完了。是不是非常套路。当然前提是你见过。

#pragma GCC optimize("Ofast")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int N=4e3+4;
const int K=70;

int n,k,tot,head[N],dp[N][K],a[N],I[N],_=260,ans;
mt19937 rnd(time(0));

struct edge{
	int to,nxt,w;
}e[N<<1];

inline void addedge(int u,int v,int w){
	e[++tot].to=v;
	e[tot].w=w;
	e[tot].nxt=head[u];
	head[u]=tot;
	return;
}

inline void dfs(int u,int fa){
	dp[u][1<<I[a[u]]]=dp[u][0]=0;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to;
		if(v==fa)continue;
		dfs(v,u);
		for(int S=(1<<k)-1;~S;S--){
			for(int T=S;;T=S&(T-1)){
				if(S^T)dp[u][S]=max(dp[u][S],dp[u][T]+dp[v][S-T]+e[i].w);
				if(T&&(S^T))ans=max(ans,dp[u][T]+dp[v][S^T]+e[i].w);
				if(!T)break;
			}
		}
	}
	return;
}

signed main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u,v,w;
		scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
		addedge(u,v,w),addedge(v,u,w);
	}
	while(_--){
		memset(dp,-0x3f,sizeof(dp));
		for(int i=1;i<=n;i++)I[i]=rnd()%k;
		dfs(1,0);
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

三部图判定
给定一张 $n$ 个结点、 $m$ 条边的简单无向图，用 RGB 三种颜色给每个结点染色满足任意一对邻居都不同色，或者报告无解。

对于一条边 $(u,v)$ ，若 $u$ 的染色确定，那么 $v$ 仍有两种染色方式。若 $v$ 的染色唯一那么就很好做了，所以考虑给每个点钦定一个颜色 $c_{u}$ 表示 $u$ 不能选择颜色 $c_u$ ，那么 $v$ 的颜色就唯一确定为 $\{R,G,B\}\setminus \{col_u,c_v\}$ 。然后就可以 2-sat 做了。单次运行正确率为 $P=\left(\dfrac2 3\right)^n$ ，根据上文结论运行 $-(P')^n\log \epsilon$ 保证 $1-\epsilon$ 的正确率。所以 Color-Coding 的本质就是用随机集合覆盖目标元素。