【做题记录】Ynoi2018 天降之物

• $\text{Ynoi 2018}$ 天降之物

题目：

一个长为 $n$ 的序列 $a$。

需要实现 $m$ 个操作，操作有两种：

1. 把序列中所有值为 $x$ 的数的值变成 $y$。

2. 找出一个位置 $i$ 满足 $a_i=x$，找出一个位置 $j$ 满足 $a_j=y$，使得 $|i-j|$ 最小，并输出 $|i-j|$。

$n\le 10^5$。

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题解：

考虑根号分治。

对于阈值 block，设一个数出现次数为 $cnt_x$，那么对于 $cnt$ 分为比 block 大、小的情况，称作大数、小数。

对于查询两个小数的情况可以直接线性归并得到结果，单次复杂度 $O(block)$。

大小超过 block 直接 $O(n)$ 扫描，因为大数最多 block 次。

考虑对于大数定义它的附属集合为其合并时用过的小数，保证长度 $\le$ block，否则直接暴力更新。

考虑修改。

小数小数合并，小数就不管，大数暴力更新。

大数大数合并仍然是暴力更新，因为每个大数最多被合并一次，所以均摊下来仍然是 $O(\dfrac{n}{block})$。

大数小数则直接把 $x$ 并入 $y$ 的附属集合。$O(\dfrac{n}{block})$。

考虑查询。

小数小数则暴力合并。

大数大数考虑将 $x$ 合并到 $y$ 和将 $y$ 合并到 $x$ 的代价的 min。$O(block)$

大数小数暴力归并 $x,y$ 的附属集合（$x$ 为小数），再与 $x$ 并到 $y$ 的情况取 $\min$ 。时间复杂度 $O(block)$ 。

总的时间复杂度 $O((n+m)\sqrt n)$，空间复杂度 $O()n\sqrt n$。

至于 block 不一定是严格的 $\sqrt n$，取到 650 最好。

目前最优解。