【做题记录】Ynoi2015 盼君勿忘

• $\text{Ynoi2015}$ 盼君勿忘

题目：

一个序列，每次查询给定 $l,r,p$，求区间 $[l,r]$ 中所有子序列分别去重后的和 $\bmod\ p$。

$n\le 10^5$。

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题解：

去重转化成贡献。

对于在区间 $[l,r]$ 中的一个值 $x$ 出现 $k$，则其贡献为 $x(2^{r-l+1}-2^{r-l+1-k})$。

所以对于 $S_k$ 表示所有出现次数为 $k$ 的数的和，区间总贡献为 $\displaystyle \sum_{i=1}^{r-l+1}S_i(2^{r-l+1}-2^{r-l+1-i})$。

考虑如何去在转移中计算 $S_k$。

直接用莫队去统计，但是如果直接如上述式子中枚举 $k$ 效率退化，考虑如何快速取出所有满足条件的 $k$。

考虑一种支持插入，删除，遍历的数据结构，那么显然可以使用链表或者 unorded_map 来维护 $k$。

对于 $2^{r-l+1}-2^{r-l+1-k}$ 直接光速幂，$O(\sqrt n)$ 的预处理算出 $pw1_i=2^i,pw2_i=2^{i\sqrt n}(1\le n\le \sqrt n)$ 直接做到 $O(1)$ 查询。

总时间复杂度 $O(n\sqrt m+m\sqrt n)$，空间复杂度 $O(n+m)$。