【做题记录】P4965 薇尔莉特的打字机

• $\text{P4965}$ 薇尔莉特的打字机

  • 算法：trie

题目：

初始有一个仅由大写字母组成的长度为 $m$ 的字符串 $S$。现在有 $n$ 次操作，每次操作输入字符 $c$，若 $c$ 是大写字母则表示在字符串后加入此字符串，否则表示将当前字符串最后一位删除（若字符串为空则不删除）。

对于每次操作都有可能会失效。问最后有多少种可能的字符串。

$n\le 5\times 10^6$。

题解：

考虑建出一个 trie，用节点表示字符串。

由于若我当前得到一个字符串 $T$，那么最终我也必然可以得到 $T$，即后面的操作全部失效。

将当前可能表示出来的字符串建出来。那么答案就是整棵树。

我们考虑加入一个字符的贡献。

设当前有 $k$ 个点。

我们设 $f_{s}$ 表示当前有多少个点的儿子中有 $s$。

那么贡献为 $K=2k-f_s$。

因为原本就有 $f_s$ 个节点包含了 $s$，那么它们再加上 $s$ 就会算重。

而不考虑这些 $f_s$ 就是所有节点都新加一个为 $s$ 的儿子。

考虑转移 $f$，结论是 $f_s=k$。因为现在所有点都有了 $s$ 这个儿子。

考虑删除。

我们可以看做此时假如所有加入的字母全部失效，那么删除的必将是 $A$ 中的字母。

我们可以证明若删除的贡献只能在 $A$ 中删除，不能在后来加入的字母中删除，因为这样没有贡献（会在第一种情况算重）。

所以删除的贡献只为 $1$。

具体地，考虑设当前一共有 $now$ 个删除，那么我们最多会删除到 $S_{m-now+1}$ 这个点。所以加上的贡献就是 $S_1\sim S_{m-now+1}$ 的字符串。

然后此时 $f$ 的转移为 $f_s++$，因为多的一种即为当前 $S_{m-now+1}$ 加入 trie 后新得到的儿子 $s$。

时间复杂度 $O(n)$。代码实现易。