【做题记录】BJOI2016 水晶

• $\text{BJOI2016}$ 水晶

  • 算法：网络流

题目：

一个六边形网格的坐标用 $(x,y,z)$ 来描述一个单元的位置，表示从原点开始按如图所示的 $x,y,z$ 方向各走若干步之后到达的地方。

已知有 $n$ 个水晶，并给出坐标与价值。

定义能量源为满足坐标 $(x+y+z)\equiv0 \pmod3$，若其上面有水晶，则价值加上 $10\%$。

炸掉一些水晶，使得：

1. 没有 $a$ 共振：如果三块水晶所在的单元两两相邻地排成一个三角形，那么会引起 $a$ 共振。

2. 没有 $b$ 共振：如果三块水晶所在的单元依次相邻地排成一条长度为 $2$ 的直线段，且正中间的单元恰好有能量源，那么会引起 $b$ 共振。

求剩下水晶最大价值。

$n\le 5\times 10^4$。

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题解：

考虑对于一个能量源 $(x,y,z)$，将它的周围六个点分成两类：

黑色：$(x-1,y,z),(x,y-1,z),(x,y,z-1)$

白色：$(x,y,z+1),(x,y+1,z),(x+1,y,z)$

那么，有一个重要性质：

若选择了能量点，则黑色白色不能同时出现。

考虑证明。（图中的紫色是白、蓝色是黑，红色表示选择的水晶）

1. 黑白相邻

如图，形成了 $a$ 共振。

2. 黑白不相邻

形成了$b$ 共振。

所以考虑把 $\bmod 3$ 意义下的三种点分别拆点。

将一个点拆成两个，中间一条边表示选或者不选，三类顺次连长度为INF的边，跑最小割即可。

然后源点连 $1$ 的点，$1$ 连 $0$，$0$ 连 $2$，$2$ 连 汇点，答案为水晶的总能量减最大流。

这样就保证了黑白不相邻。

和王者之剑非常像。