【做题记录】CF961G Partitions

• $\text{CF961G Partitions}$

  • 算法：斯特林数、EGF

题目：

给出 $n$ 个物品，每个物品有一个权值 $a_i$。

定义一个集合 $S$ 的权值 $w(S)=|S|\sum\limits_{x\in S}a_x$。

定义一个划分的权值为 $\omega(R)=\sum\limits_{S\in R}w(S)$。

求将 $n$ 个物品划分成 $k$ 个集合的所有方案的权值和。答案对 $10^9+7$ 取模。

$n,k\le2\times10^5$，$a_i\le10^9$。

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题解：

显然答案为

$$\sum_{i=1}^{n} a_i \sum_{j=1}^{n} j\begin{Bmatrix}n-j\\j-1\end{Bmatrix}\binom{n-1}{j-1}$$

设 $\displaystyle ans=\sum_{j=1}^{n} j\begin{Bmatrix}n-j\\j-1\end{Bmatrix}\binom{n-1}{j-1}$，有

法一：

$$\begin{aligned}ans & = \sum_{j=1}^{n} j\begin{Bmatrix}n-j\\j-1\end{Bmatrix}\binom{n-1}{j-1} \\ & = \sum_{j=1}^n j\binom{n-1}{j-1}\sum_{i=0}^{k-1}\dfrac{(-1)^i(k-i-1)^{n-j}}{i!(k-i-1)!}\\ &= \sum_{i=0}^{k-1}\dfrac{(-1)^i}{i!(k-i-1)!}\sum_{j=1}^nj(k-i-1)^{n-j}\binom{n-1}{j-1}\\&=\sum_{i=0}^{k-1}\dfrac{(-1)^i}{i!(k-i-1)!}(\sum_{j=1}^n(k-i-1)^{n-j}\binom{n-1}{j-1}+\sum_{j=1}^n (j-1)(k-i-1)^{n-j}\binom{n-1}{j-1})\\&= \sum_{i=0}^{k-1}\dfrac{(-1)^i}{i!(k-i-1)!}(\sum_{j=1}^n(k-i-1)^{n-j}\binom{n-1}{j-1}+(n-1)\sum_{j=1}^n (j-1)(k-i-1)^{n-j}\binom{n-2}{j-2})\\&= \sum_{i=0}^{k-1}\dfrac{(-1)^i}{i!(k-i-1)!}((k-i)^{n-1}+(n-1)(k-i)^{n-2}) \end{aligned}$$

法二：

orz EI。

$\displaystyle ans=\sum_{i=1}^{n} i\begin{Bmatrix}n-i\\i-1\end{Bmatrix}\binom{n-1}{i-1}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n i^2\begin{Bmatrix}n-i\\i-1\end{Bmatrix}\binom{n-1}{i-1}$

考虑 EGF。

对于 $\begin{Bmatrix}n-i\\i-1\end{Bmatrix}$，其EGF为 $\hat{G}(x)=\dfrac{(e^x-1)^{k-1}}{(k-1)!}$。

$$\begin{aligned}ans & =\dfrac{1}{n}[\dfrac{x^n}{n!}]((x+x^2)(\dfrac{(e^x-1)^{k-1}}{(k-1)!}+k\dfrac{(e^x-1)^k}{k!}))\\&= \dfrac{1}{n} (n(k\begin{Bmatrix}n-1\\k\end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix}n-1\\k-1\end{Bmatrix})+n(n-1)(k\begin{Bmatrix}n-2\\k\end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix}n-2\\k-1\end{Bmatrix}))\\&= \begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}+(n-1)\begin{Bmatrix}n-1\\k\end{Bmatrix}\end{aligned}$$