【做题记录】POI2011 Lightning Conductor

• $\text{POI2011 Lightning Conductor}$

  • 算法：决策单调性优化DP

题目：

给定一个长度为 $n$ 的序列 $\{a_n\}$，对于每个 $i\in [1,n]$ ，求出一个最小的非负整数 $p$ ，使得 $\forall j\in[1,n]$，都有 $a_j\le a_i+p-\sqrt{|i-j|}$。

$1 \le n \le 5\times 10^{5}$，$0 \le a_i \le 10^{9}$。

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题解：

先考虑把 $p_i$ 单独移到一边。

$$p_i\ge a_j-a_i+\sqrt{|i-j|}$$

$$p_i=\max\limits_{j=1}^n\{a_j+\sqrt{|i-j|}\}-a_i$$

直接考虑拆开绝对值。

$$p_i=\max(\max_{j=1}^i\{a_j+\sqrt{i-j}\},\max_{j=i}^n\{a_j+\sqrt{j-i}\})-a_i$$

单独看前一部分

$$p_i=\max_{j=1}^i\{a_j+\sqrt{i-j}\}-a_i$$

显然后一部分即为第一部分翻转。

以下只考虑第一部分。

考虑对于每个 $j$，把 $a_j+\sqrt{i-j}$ 看成关于 $i$ 的函数 $f_j$。

答案即为在所有 $j\le i$ 的函数中找到最值。

那么接下来考虑证明这玩意的决策单调性。

笔者几何不好，所以选择代数证明。

相信大家都会四边形不等式。（$w(a,d)+w(b,c)\ge w(a,c)+w(b,d)$，其中满足 $a\le b\le c\le d$）

即对于 $f_i=\min\{f_j+w(j,i)\},j\in [0,i]$，若函数 $w$ 满足四边形不等式，则 $f$具有决策单调性。

设 $w(i,j)$ 为 $\sqrt{i-j}$，钦定 $c>a+1$，得

$\because w(a,c)= \sqrt{c-a},w(a+1,c)=\sqrt{c-a-1},w(a,c+1)=\sqrt{c-a+1},w(a+1,c+1)=\sqrt{c-a}$

$\therefore w(a,c+1)+w(a+1,c)-w(a,c)-w(a+1,c+1)=\sqrt{c-a-1}+\sqrt{c-a+1}-2\sqrt{c-a}$

令 $d=c-a$，

$\begin{aligned}w(a,c+1)+w(a+1,c)-w(a,c)-w(a+1,c+1) & = \sqrt{d+1}+\sqrt{d-1}-2\sqrt d \\ & = (\sqrt{d+1}-\sqrt d)-(\sqrt d-\sqrt{d-1})\end{aligned}$

$\because \sqrt x-\sqrt{x-1}$ 具有单调性

$\therefore w(a,c+1)+w(a+1,c)\le w(a,c)+w(a+1,c+1)$。

那么显然这个可以推广至 $a,b,c,d$。

由于本题求 $\max$，因为将式子符号取反，易知满足决策单调性。

于是直接上两次单调队列就好了。

时间复杂度 $O(n)$。