【做题记录】CF109C Lucky Tree

• $\text{CF109C Lucky Tree}$

题目：

一棵树，其中有若干条关键边，求有多少点三元组 $(i,j,k)$ 满足 $i$ 与 $j$ 间有关键边且 $i$ 与 $k$ 间有关键边。

$n≤10^5$。

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题解：

考虑将关键边断开，那么会得到许多连通块。

从当前连通块中选择一个点 $i$，再从其他连通块任选两个 $j,k$ 必然合法。

设当前连通块的大小为 $k$，那么答案即为

$$\sum2k\dbinom{n-k}{2}$$

就是从 $n-k$ 中选择两个 $j,k$，然后对于当前连通块中每一个都需要计算，乘上 $k$，三元组有序乘上 $2$。

拓展：

加入是多元组（设为 $p$ 组），设连通块大小为 $t_1\dots t_m$，则答案即为一个经典问题，从 $m$ 堆中选择 $p$ 个，答案即为 $\displaystyle{[x^p]\prod_{i=1}^m(1+t_ix)}$，显然使用分治FFT 可以快速做到 $O(m\log^2m)$。