【做题记录】HEOI2013 SAO

• $\text{HEOI2013 SAO}$

  • 算法：dp

题目：

给出一棵边有方向的树，求该图的拓扑序数量。

$n\le 10^3$

题解：

先将这玩意当做普通的树来做。

设 $f_{u,i}$ 表示节点 $u$ 在子树中的排名为 $i$ 的方案数。

那么考虑类似于树形背包，将 $v$ 加入子树 $u$ 来转移。

1. $v$ 连向 $u$。

所以 $u$ 拓扑序比 $v$ 大。

设 $u$ 原来的排名为 $p$，$v$ 原来在其子树中的排名为 $q$。

设 $f_{u',k}$ 为 $u$ 加入 $v$ 这棵子树后 $u$ 排名为 $k$ 的方案。

那么 $v$ 中就必然有 $k-p$ 个节点的拓扑序比 $u$ 小。而 $v$ 的排名比 $u$ 前。

所以转移的限制是 $q\le k-p$ 即 $p+q\le k$。

考虑现在比 $u$ 小的节点有 $k-1$ 个，原来比 $u$ 小的有 $p-1$ 个，显然这些点是确定的，所以只需要考虑顺序，方案数为 $\dbinom{k-1}{p-1}$。那么剩下比 $u$ 排名大的同理方案数为 $\dbinom{sz_u+sz_v-k}{sz_u-p}$。

所以可得转移为

$$f_{u',k}=\sum_{p=1}^{sz_u}\sum_{q=1}^{sz_v}[p+q\le k]f_{u,p}f_{v,q}\dbinom{k-1}{p-1}\dbinom{sz_u+sz_v-k}{sz_u-p}$$

2. $u$ 连向 $v$。

与第一种同样的方法。

直接上转移：

$$f_{u',k}=\sum_{p=1}^{sz_u}\sum_{q=1}^{sz_v}[p+q> k]f_{u,p}f_{v,q}\dbinom{k-1}{p-1}\dbinom{sz_u+sz_v-k}{sz_u-p}$$

考虑优化。

先提出 $p$：

$$f_{u',k}=\sum_{p=1}^{sz_u}f_{u,p}\dbinom{k-1}{p-1}\dbinom{sz_u+sz_v-k}{sz_u-p}\sum_{q=1}^{k-p}f_{v,q}$$

$$f_{u',k}=\sum_{p=1}^{sz_u}f_{u,p}\dbinom{k-1}{p-1}\dbinom{sz_u+sz_v-k}{sz_u-p}\sum_{q=k-p+1}^{sz_v}f_{v,q}$$

发现直接搞一个前缀和就好了。

设 $s_{u,i}$ 为 $f_{u,i}$ 的前缀和。

$$f_{u'k}=\sum_{p=1}^{sz_u}f_{u,p}\dbinom{k-1}{p-1}\dbinom{sz_u+sz_v-k}{sz_u-p}s_{v,q}$$

$$f_{u'k}=\sum_{p=1}^{sz_u}f_{u,p}\dbinom{k-1}{p-1}\dbinom{sz_u+sz_v-k}{sz_u-p}(s_{sz_v}-s_{k-p})$$

时间复杂度 $O(n^2)$。