【做题记录】CF1278F Cards

• $\text{CF1278F Cards}$

  • 斯特林数、组合数学

题目：

有 $m$ 张牌，其中有一张是王牌。将这些牌均匀随机打乱 $n$ 次，设有 $x$ 次第一张为王牌，求 $x^k$ 的期望值。

答案对 $998244353$ 取模。

原题 $k\le 5000$，加强版 $k\le 10^7$。

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题解：

被 dp 虐惨了过来愉悦身心了属于是。

设 $p=\dfrac{1}{m},q=1-p$。

显然答案为：

$$\begin{aligned}ans & = \sum_{i=1}^n\dbinom{n}{i}p^iq^{n-i}i^k \\ & =\sum_{i=0}^n{n\choose i}p^iq^{n-i}\sum_{j=0}^i\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}{i\choose j}j!\\ & =\sum_{j=0}^n j!\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\sum_{i=j}^n{n\choose i}{i\choose j}p^iq^{n-i}\\ & =\sum_{j=0}^nj!\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\sum_{i=j}^n{n\choose j}{n-j\choose i-j}p^iq^{n-i}\\ & =\sum_{j=0}^nj!\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}{n\choose j}\sum_{i=0}^{n-j}{n-j\choose i}p^{i+j}q^{n-i-j}\\ & =\sum_{j=0}^nj!\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}{n\choose j}p^j\sum_{i=0}^{n-j}{n-j\choose i}p^iq^{(p-j)-i}\\ & =\sum_{j=0}^nj!\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}{n\choose j}p^j(p+q)^{n-j}\\&=\sum_{j=0}^kj!p^j{n\choose j}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix} \end{aligned}$$

如果是原题的话，现在使用斯特林数的朴素 $O(k^2)$ 递推即可通过。

或者使用预处理行/NTT 的方式 $O(k\log k)$。

下面是加强版：

然后考虑化解开斯特林数：

$$\begin{aligned}ans & = \sum_{j=0}^kj!p^j{n\choose j}\frac{1}{j!}\sum_{i=0}^j{j\choose i}(-1)^{j-i}i^k \\ &= \sum_{i=0}^ki^k\sum_{j=i}^k{n\choose j}{j\choose i}p^j(-1)^{j-i} \\ &= \sum_{i=0}^k (-1)^ki^k{n\choose i}\sum_{j=i}^n{n-i\choose j-i}(-p)^j\\ &= \sum_{i=0}^k(-1)^ki^k{n\choose i}\sum_{j=0}^{k-i}{n-i\choose j}(-p)^{j+i}\\ &=\sum_{i=0}^kp^ii^k{n\choose i}\sum_{j=0}^{k-i}{n-i\choose j}(-p)^j\end{aligned}$$

设 $f(i)=\displaystyle\sum_{j=0}^{k-i}{n-i\choose j}(-p)^j$，那么原式变成 $O(k)$ 递推的式子：

$$ans=\sum_{i=0}^kp^ii^k{n\choose i}f(i)$$

考虑求出 $f(i)$，显然 $f(k)=1$，那么我们考虑逆推。

$$\begin{aligned}f(i) & = \sum_{j=0}^{k-i}{n-i\choose j}(-p)^j\\&= \sum_{j=0}^{k-i}({n-(i+1)\choose j}+{n-i-1\choose j-1})(-p)^j\\&= \sum_{j=0}^{k-i}{n-(i+1)\choose j}(-p)^j+\sum_{j=0}^{k-i}{n-i-1\choose j-1}(-p)^j\\&= f(i+1)+{n-i-1\choose k-i}(-p)^{k-i}+(-p)\sum_{j=0}^{k-(i+1)}{n-(i+1)\choose j}(-p)^j\\&= q\times f(i+1)+{n-i-1\choose k-i}(-p)^{k-i}\end{aligned}$$

筛完后直接递推。

时间复杂度 $O(k)$。