【做题记录】ARC068D Solitaire

• $\text{ARC068D Solitaire}$

  • 算法：dp

题目：

将 $1\sim n$ 顺序加入双端队列（每次可加头可加尾），再删除（每次可删头可删尾），求有多少种删除序列，使得 $1$ 是第 $k$ 个被删的。

$1\le n,k\le 2000$。

题解：

这里是一个 $O(n^2)$ 的做法，在这篇题解中有 $O(n+q)$ 的线性做法。

考虑这个双端队列长什么样：应该是一个以 $1$ 为分割点，左边是一个单调下降序列，右边是单调上升序列。

考虑删除的第 $k$ 个点要是 $1$，弹出时是选择两端中的一端弹出，拆开弹出的序列，一部分为前端弹出的数，另一部分为后端弹出的数，于是这两部分就是单调递减的，且前 $k-1$ 个数中其中一个序列的最小值一定大于后 $n-k$ 个数中的最大值。

然后因为在确定了 $1$ 的位置后，之后随便删除，所以剩下的随便排序，有 $2^{n-k-1}$ 种。

直接 dp：$f_{i,j}$ 表示前 $k-1$ 个数中前 $i$ 个数，这些数的最小值为 $j$。

考虑下一个数 $k$ 与 $j$ 的大小关系：

1. $f_{i,j}\to f_{i+1,k}(j\ge k)$。

2. $f_{i,j}\to f_{i,j+1}(k>j)$

总时间复杂度 $O(n^2)$。