【做题记录】CF521D Shop

• $\text{CF521D Shop}$

  • 算法：贪心

题目：

一个长度为 $k$ 的正整数序列 $a$。

有 $n$ 个操作，每个操作给定正整数 $op, i, val$，三种类型：

1. $op=1$，将 $a_i$ 赋值为 $val$；

2. $op=2$，将 $a_i$ 加上 $val$；

3. $op=3$，将 $a_i$ 乘以 $val$。

你可以从 $n$ 个操作中选择最多 $m$ 个操作，并按照一定顺序执行。

最大化 $\displaystyle\prod_{i=1}^k a_i$ 的值。

$k,n \le 10^5$。

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题解：

首先乘法运算是简单的，因为求 $\prod$，而乘法与顺序、位置无关。所以考虑加法、赋值。

赋值显然是可以看成一种加法。

那么考虑转化加法。

显然存在最优方案：先赋值再加法再乘法。

假设不存在赋值操作, 那么每个位置的执行的加法必然是 $val$ 最大的几个。那么按 $val$ 排序，得到的 $val$ 将是有序的。那么每个加法执行位置有序。

令当前加法的前一个加法加 $y$，后一个加法加上 $x$，那么当前加法就等同于乘上 $\dfrac{x}{y}$。

那么赋值就可以转化为加法后再转为乘法。注意加法是对赋值有影响，所以不能直接转换。

时间复杂度 $O(n\log n)$。