【做题记录】王者之剑

• $\text{P4474}$ 王者之剑

  • 算法：最小割

题目：

1. 可以拿走所在方格宝石获得其价值。

2. 在偶数秒周围四格的宝石会消失。

3. 每秒可以选择移动上下左右一格或不动。

求最大价值。

$n,m\le 100$

题解：

看到二次元女朋友吾王就进来冲了/se /se

好了不扯了。

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显然的网络流。还是考虑割点，将每个点分为入点和出点，然后连接这两个的边的流量就是其价值。

然后这题比较特别的地方就是偶数秒周围的点消失。

那么我们可以推出两个重要性质：

1. 只可能在偶数秒取到宝石。

因为若在奇数秒取得宝石，那么在上一秒为偶数秒时正在格子周围，会将此格子消去，所以上一秒是可能原地不动，那么也就是在偶数秒到达格子并取。

2. 不可能取到两个相邻的点。

不妨设为 $x,y$，先取了 $x$，又第一条性质知此时必为偶数秒，那么 $y$ 就会被删。

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相邻的格子不能被同时取到，又这一性质可以想到对这整个格图做黑白相邻染色。

先抛弃这样做的正确性，那么我们将奇数点连向源点，偶数点连向汇点。奇偶点之间用 inf 连接。

那么就是个二分图匹配。

然后跑一个最小割。

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知道做法了，我们来看这样做的正确性。

这里先推荐一下 RemiliaScarlet◎
的题解，讲的还是很详细的。

我们来证明一下我们这样做的正确性。

首先黑白染色。

然后，我们考虑奇偶。

如果两个宝石颜色相同，说明他们奇偶性相同，可以直接获得。

如果奇偶不同，那么就需要改变一次奇偶。而改变时间奇偶只需在某一格停下。

但是我们是不能随便停下的，因为有可能停下后是偶数秒后将周围格子宝石消去。

比如上图中我们从 $(1,1)$ 想要去取 $(1,4)$ 的宝石，由于两个宝石奇偶性不同，所以我们需要在中途停下一秒。如果我们在 $(1,2)$ 停下了，那么 $(2,2)$ 就会被删去。

我们简单考虑转移从上一行至下一行。

所以我们考虑那些没有宝石且下方也没有宝石的格子，对其进行讨论是否能停留。

为什么要下方也没有格子？

如上面举的例子，如果在 $(1,2)$ 停留就会对 $(2,2)$ 造成影响，所以我们真正只能考虑不仅自身没有宝石，下方也没有宝石的格子。

好，那么我们来进行讨论。

对于这种特殊的格子，我们用蓝色对其染色。

我们来分类讨论：（$1$ 表示灰（有宝石），$0$ 表示白，$*$ 表示蓝）

• $1*1$ 停留。
• $0*0$ 停留或走。
• $1*0/0*1$ 直接走。
• $**...*$ 按照 $0,1,0...$ 的顺序随便。

所以，对于任何一种情况，都会有一种方案对应。

所以我们直接跑最小割是对的。

剩下的很简单了，板子的最小割，然后标记个上下左右的方向即可。

双倍经验方格取数。