【做题记录】HNOI2015 落忆枫音

• $\text{HNOI2015}$ 落忆枫音

题目：

给一个 $n$ 个点 $m$ 条边的 DAG，点 $1$ 的入度为 $0$。随后向图中再加入一条有向边，加边后图可能不再是 DAG。

求出图中有多少个 $n-1$ 条有向边的集合，满足只使用集合中的边能从
$1$ 到达其它所有点（即有向生成树），模 $10^9+7$

$n≤10^5,m≤2×10^5$

题解：

新加入的边是特殊的，因为如果加入了那么原图就有可能不是 DAG。

加入了新边的影响就是原来的图不再是一个 DAG，而有可能会出现环。

不妨容斥一下。

在 DAG 上做有向生成树很简单。如此题，此时的答案为：

$$ans=\prod_{i=2}^{n}in_i$$

其中 $in_i$ 表示 $i$ 号节点的入边。

这个结论显然，答案就是所有节点（除了 $1$ 号）的入边数量之积。（就是给每个节点选一个父亲）

接下来考虑环。

设加入的边为 $s\to t$，那么新出现的环只可能是从 $t\to \dots \to s$。（因为原来的图没有环，所以只可能是新增的边形成了环）

此时我们可以用一个 dfs 来对其进行一个朴素的搜索。

考虑对于搜到每个点的情况，不妨设 $f_i$ 表示到了 $i$ 点时有多少种无用情况（即环），那么答案显然就是 $ans-f_t$

考虑这个 dp，易知

$$f_i=\dfrac{\prod\limits_{i=2}^{n}in_i}{in_s\times \prod\limits_{i=1}^{k}in_{a_i}}$$

所以转移显然：

$$f_i=\dfrac{1}{in_i}\sum_{(i,j)}f_j$$

那么在 DAG 上套就可。