【做题记录】CF285E Positions in Permutations

• $\text{CF285E Positions in Permutations}$

  • 算法：$\text{dp}$、组合数学、容斥

题目：

称一个 $1\sim n$ 的排列的完美数为有多少个 $i$ 满足 $|P_i-i|=1$。

求有多少个长度为 $n$ 的完美数恰好为 $m$ 的排列。

$n\le 1000,0\le m\le n$

题解：

设完美数恰好为 $m$ 的排列共有 $f(m)$ 种。

再令 $g(m)$ 表示强制性放 $m$ 个满足条件的数，其余的随便放（也就是可能满足也可能不满足）的排列的个数。

所以显然有

$$g(m)=\sum _{i=m}^{n}\dbinom{i}{m}f(i)$$

又通过二项式反演得

$$f(m)=\sum_{i=m}^n (-1)^{i-m}\dbinom{i}{m}g(i)$$

那么对于 $f$ 求出 $g$ 即可。

然后我们设计一个感性的 $\text{dp}$：

因为 $g$ 只需要强制要求 $m$ 位，所以我们只需要考虑那 $m$ 位，其余的乘上 $(n-m)!$ 即可（随便放）

考虑这个 $\text{dp}$。

设 $dp_{i,j,0/1,0/1}$ 表示到了第 $i$ 位而此时取了 $j$ 个完美的位置，选还是不选第 $i,i+1$ 位。

分类。

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1. 当前为完美位

那么就要有 $|P_i-i|=1$，故 $P_i$ 只能为 $i-1$ 或 $i+1$

• 选择 $i-1$

那么此时必然要保证 $i-1$ 位不选

$$\therefore dp_{i,j,1,0}+=dp_{i-1,j-1,0,1}$$

（选择 $i$）

$$\therefore dp_{i,j,0,0}+=dp_{i-1,j-1,0,0}$$

（不选 $i$）

• 选择 $i+1$

同理保证 $i+1$ 位不选。而此时 $i-1$ 位可以随便选择，所以比起上面的多了一种可能（即选还是不选 $i-1$ 位）

$$\therefore dp_{i,j,1,1}+=dp_{i-1,j-1,0,1}+dp_{i-1,j-1,1,1}$$

（选择 $i$）

$$\therefore dp_{i,j,0,1}+=dp_{i-1,j-1,0,0}+dp_{i-1,j-1,1,0}$$

（不选择 $i$）

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2. 当前不为完美位

那么就不能选择 $i-1$ 和 $i+1$ 位了。

转移很显然了，注意将 $j-1$ 改为 $j$ （不选 $i$ 所以还是只选了 $j$ 个）

$$\therefore dp_{i,j,1,0}+=dp_{i-1,j,0,1}+dp_{i-1,j,1,1}$$

（选择 $i$）

$$\therefore dp_{i,j,0,0}+=dp_{i-1,j,0,0}+dp_{i-1,j,1,0}$$

（不选 $i$）

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然后注意边界：

1. $i=1$

$dp_{1,0,0,0}=dp_{1,1,0,1}=1$

2. $i=n$

注意去掉 $i+1$ 的可能。

$$\therefore g(m)=(dp_{n,m,1,0}+dp_{n,m,0,0})\times (n-m)!$$

然后再套回去求出 $f(m)$ 即可。

时间复杂度 $O(n^2)$。