【做题记录】CF1097G Vladislav and a Great Legend

• $\text{CF1097G Vladislav and a Great Legend }$

  • 算法：树形 $\text{dp}$，斯特林数，虚树

题目：

给你一棵有 $n$ 个节点的树 $T$，$n$ 个节点编号为 $1$ 到 $n$。

对于 $T$ 中每个非空的顶点的集合 $X$，令 $f(X)$ 为包含 $X$ 中每个节点的最小连通子树的最小边数，即虚树的大小。

再给你一个整数 $k$。你需要计算对于每一个顶点的集合 $X$，$(f(X))^k$ 之和，即：

$$\sum_{X\subseteq\{1,2,\dots,n\},X\neq\varnothing}(f(X))^k$$

答案对 $10^9+7$ 取模。

$n\le 2\times 10^5,k\le 200$

题解：

首先对于 $f(x)^k$ 用第二类斯特林数计算,显然有

$$x^k=\sum_{i=0}^k i!\dbinom{x}{i}\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}$$

$\begin{aligned}ans & = \sum_x\sum_{i=0}^{k}i!\dbinom{f(x)}{i}\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix} \\ & = \sum_{i=0}^{k}i!\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}\sum_x\dbinom{f(x)}{i}\end{aligned}$

$$\therefore ans=\sum_x\sum_{i=0}^{k}i!\dbinom{f(x)}{i}\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}$$

所以我们可以枚举点 $i$，然后求所有的非空点集对应的生成树标记了 $i$ 条边的方案数之和。

令 $f_{i,j}$ 表示