【做题记录】CF1039D You Are Given a Tree

• $\text{CF1039D You Are Given a Tree }$

  • 算法：根号分治，$\text{dp}$

题目：

有一棵 $n$ 个节点的树。

其中一个简单路径的集合被称为 $k$ 合法当且仅当：

树的每个节点至多属于其中一条路径，且每条路径恰好包含 $k$ 个点。

对于 $k\in [1,n]$，求出 kk 合法路径集合的最多路径数 即：设 $k$ 合法路径集合为 $S$，求最大的 $|S|$。

$n \le 10^5$。

题解：

首先考虑一个贪心。

在一棵子树中尽可能地最大化完整路径条数。其次最大化未完成的链的长度。

然后进行合并时，先尝试与子树拼接，不行则往上延伸。

不过一次 $O(n)$。

设 $f_k$ 表示对于给定 $k$ 的答案。

显然有 $f_k\le \left\lfloor\dfrac{n}{k}\right\rfloor$

考虑 $k$ 的取值。

当 $k\in [1,\sqrt n]$，共 $\sqrt n$ 种；

当 $k>\sqrt n$，亦为 $\sqrt n$；

所以 $f_k$ 的取值个数为 $O(\sqrt n)$ 级别的。

然后 $f$ 显然单调。

所以在边界上二分即可。

伪代码：

 
f[n]<=f[n-1]<=...<=f[1]

x=f[n];

check(x){
	int l=1,r=n;
	while(l<=r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid)<x){
			l=mid+1;
			res=mid;
		}
		else r=mid-1;
	}
	...
}

时间复杂度 $O(n\sqrt n\log n)$。