【做题记录】CF1101D GCD Counting

• \(\text{CF1101D GCD Counting }\)

  • 算法：树形 \(\text{dp}\)

题目：

给出一棵树，树有点权，共 \(n\) 个点，求树上的一条链，满足：链上所有点的点权的 \(gcd>1\) 且链上的点数最多。注意一个点也可以构成一条链。\(a_i\) 表示第 \(i\) 个点的点值。

\(n\le 2\times 10^5\)

题解：

首先不要去管 \(gcd\) 是多少，不用考虑重复计算。只要不互素。

对于每个节点 \(x\)，做一个很显然的数位 \(\text{dp}\)：用 \(f_{x,k}\) 表示以 \(x\) 为根节点往下去挂出的点的点权都能被 \(k\) 整除的最长链。

那么答案显然就是 \(\max \{f_{x,k}\},x\in [1,n]\)。

对于 \(f\) 的转移很简单，往下搜遇到点 \(y,k\mid y\) 则更新继续搜，否则停止。

对于 \(k\)，因为显然这条链的 \(gcd\) （也就是 \(k\)）也是 \(a_x\) 的因子，所以 \(k\) 取 \(a_x\) 的质因子即可。

由于 \(a_x\le 2\times10^5\)，而 \(2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\ge 10^5\)，所以 \(k\) 的取值一共才 \(7\) 个，常数极小。

然后一边转移一边更新答案即可。

时间复杂度 \(O(7n)\)。