【做题记录】CF1101D GCD Counting

• $\text{CF1101D GCD Counting }$

  • 算法：树形 $\text{dp}$

题目：

给出一棵树，树有点权，共 $n$ 个点，求树上的一条链，满足：链上所有点的点权的 $gcd>1$ 且链上的点数最多。注意一个点也可以构成一条链。$a_i$ 表示第 $i$ 个点的点值。

$n\le 2\times 10^5$

题解：

首先不要去管 $gcd$ 是多少，不用考虑重复计算。只要不互素。

对于每个节点 $x$，做一个很显然的数位 $\text{dp}$：用 $f_{x,k}$ 表示以 $x$ 为根节点往下去挂出的点的点权都能被 $k$ 整除的最长链。

那么答案显然就是 $\max \{f_{x,k}\},x\in [1,n]$。

对于 $f$ 的转移很简单，往下搜遇到点 $y,k\mid y$ 则更新继续搜，否则停止。

对于 $k$，因为显然这条链的 $gcd$ （也就是 $k$）也是 $a_x$ 的因子，所以 $k$ 取 $a_x$ 的质因子即可。

由于 $a_x\le 2\times10^5$，而 $2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\ge 10^5$，所以 $k$ 的取值一共才 $7$ 个，常数极小。

然后一边转移一边更新答案即可。

时间复杂度 $O(7n)$。