【做题记录】万径人踪灭

• $\text{P4199}$ 万径人踪灭

  • 算法：$\text{FFT,manacher}$

题目：

在一个只包含 $a,b$ 的字符串中选择一个序列，使得

1. 位置和字符都关于某条对称轴对称。

2. 不能是连续的一段。

求有多少个满足要求的序列，答案对 $1e9+7$ 取模。

$n\le 10^5$

题解：

upd：修改了部分内容。

首先枚举对称轴，假设我们以 $k$ 为对称轴。

设 $p_k$ 为满足 $i<j,a_i=a_j$ 并且 $i,j$ 关于 $k$ 对称的 $(i,j)$ 的个数。

那么对于这 $p_k$ 个 $(i,j)$，$a_i$ 与 $a_j$ 要么同时选（因为对称所以必定满足），要么同时不选，共 $2^{p_k}$ 种方案。扣掉空集，共 $2^{p_k}-1$ 种。

$$\therefore ans=\sum\limits_{k=0}^{n}2^{p_k}-1$$

注意一下这里 $k$ 可以为 $\dfrac{t}{2}(t\in \mathbb{N})$，因为对称轴可以为两个字符中间（比如 $1,8$ 就关于 $4.5$ 对称，也就是 $4,5$ 的中间对称）

这里有个关于位置对称的性质：

$i,j$ 关于 $p$ 对称当且仅当 $i+j=2x$。

我们可以根据这个转移。

现在位置对称了，还要满足字符对称。

记字符 $a$ 为 $1$，字符 $b$ 为 $0$。

那么可以发现当两字符相等时仅可能为 $1+1=2(aa)$ 或 $0+0=0(bb)$。而对于 $1+0=1(ab)$ 的情况则需要排除。

由于 $aa$ 和 $bb$ 的情况的数值中间相差了 $ab$，难以判断是否对称。

这里有个很好用的东西：平方。

平方可以消去数值的负号。

所以我们可以将 $aa,bb,ab$ 所代表的数值各消去 $1$ ，那么变为 $1,-1,0$；此时再将它们都平方，那么对称的即变为 $1$，不对称的还是 $0$，很好地满足了我们的要求。

$$\therefore p_{k}=\sum\limits_{i+j=2k}(a_i+a_j-1)^2$$

非常显然的卷积，$\text{FFT}$ 一卷即可。

但题目中还说“位置不能连续”，说明要扣掉连续的回文子串的个数。

对于回文的对称的子串显然，用 manacher 一弄就好了。