【做题记录】ZJOI2014 力

• 【$\text{ZJOI2014}$】 力

  • 算法：$\text{FFT}$

题目：

给出 $n$ 个数 $q_1,q_2, \dots q_n$，定义

$$F_j~=~\sum_{i = 1}^{j - 1} \frac{q_i \times q_j}{(i - j)^2}~-~\sum_{i = j + 1}^{n} \frac{q_i \times q_j}{(i - j)^2}$$

$$E_i~=~\frac{F_i}{q_i}$$

对 $1 \leq i \leq n$，求 $E_i$ 的值。

题解：

$$F_j~=~\sum_{i = 1}^{j - 1} \frac{q_i \times q_j}{(i - j)^2}~-~\sum_{i = j + 1}^{n} \frac{q_i \times q_j}{(i - j)^2}$$

即求：

$$E_i=\frac{F_i}{q_i}=\sum_{j=1}^i\frac{q_j}{\left(i-j\right)^2}-\sum_{j=i+1}^n\frac{q_j}{\left(i-j\right)^2}$$

令 $x_i=\dfrac1{i^2}$，则

$$E_i=\sum_{j=1}^iq_jx_{i-j}-\sum_{j=i+1}^nq_jx_{j-i}$$

再令 $p_i=q_{n-i+1}$，那么

$$E_i=\sum_{j=1}^iq_jx_{i-j}-\sum_{j=i+1}^np_{n-j}x_{j-i}$$

此时式子的左侧和右侧都是卷积的形式

用 $\text{FFT}$ 维护这个过程

将数列 $q_i$，$p_i$，$x_i$ 作为多项式 $f$，$h$，$g$ 的系数

将他们用 $\text{FFT}$ 乘起来，得到的 $f \times g$，$h\times g$ 的系数做差，即 $E_i$。