【做题记录】AHOI/HNOI2017 礼物

• 【$\text{AHOI/HNOI2017}$】礼物

  • 算法：$\text{FFT}$

题目：

给定数列 $a,b$，$b$ 可以循环移动，选择整数 $c$，求 $\large \sum\limits_{i=1}^n(a_i-b_i+c)^2$最小值。

$1 \le n \le 50000$, $1 \le a_i \le m \le 100$

题解：

把题目的式子拆一下，得

$$\begin{aligned}\sum_{i=1}^n(a_i-b_i+c)^2 & = \sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2+c^2+2c(a_i-b_i) \\ & = \sum_{i=1}^n a_i^2+b_i^2-2a_ib_i+c^2+2a_ic-2b_ic \\ &= \sum_{i=1}^na_i^2+\sum_{i=1}^nb_i^2-2\sum_{i=1}^na_ib_i+nc^2+2c\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)\end{aligned}$$

对于 $ \sum\limits_{i=1}^na_i2+\sum\limits_{i=1}^nb_i2$ 显然为定值，预处理即可。

而 $ nc^{2+2c\sum\limits_{i=1}}n(a_i-b_i)$ 可以看成是一个关于 $c$ 的二次函数，不妨设 $y=(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i-\sum\limits_{i=1}^{n}b_i)$，

则 $\min (nc^2+2c\sum\limits_{i=1}^n(a_i-b_i))$ 在 $c=-\dfrac{y}{n}$ 时取得。

又因为 $c$ 为整数，所以 $c=\lfloor -\dfrac{k}{n}\rfloor$ 或 $\lceil -\frac{k}{n}\rceil$，将两者带入取 $\min$ 即可。

所以此时式子只剩下中间的 $\sum\limits_{i=1}^na_ib_i$，将它最大化。

将 $a$ 给反转一下，所以得

$$\sum_{i=1}^{n}a_{n-i}b_i$$

然后对这个做卷积。