【做题记录】CF993E Nikita and Order Statistics

• $\text{CF993E\ Nikita\ and\ Order\ Statistics}$

  • 算法；$\text{FFT}$

题目：

给你一个数组 $a_{1 \sim n}$，对于 $k = 0 \sim n$，求出有多少个数组上的区间满足：区间内恰好有 $k$ 个数比 $x$ 小。$x$ 为一个给定的数。

$n \le 2 \times 10^5$。值域没有意义。

题解：

设 $b_i$ 表示 $a_i$ 是否小于 $x$，小于则值为 $1$，否则为 $0$。

对 $b$ 做一个前缀和，设为 $s$。

所以相当于求对于 $k=0\sim n$ 使 $s_i-s_j=k(i,j\in [0,n])$

对于 $s$ 数组开个桶 $p$ ，$p_i$记录 $s$ 中有多少个 $i$

那么对于 $k$ 来说在 $[0,n]$ 中枚举每一个长度为 $k$ 的区间

$$\therefore ans_k=\sum_{i=0}^{n-k}p_i\times p_{i+k}$$

那么对于这个可以卷积。

设 $f_i=p_i,g_{n-i}=p_i$，将 $f,g$ 卷一下，其卷积设为 $h_i$

$$\therefore \sum_{i=0}^{n-k}f_i\times f_{i+k}=\sum_{i=0}^{n-k}f_i\times g_{n-i-k}=h_{n-k}$$

$$\therefore ans_k=h_{n-k}$$

所以将 $f,g$ 一卷就好了。

记得特判一下 $k=0$。