【做题记录】CF1096G Lucky Tickets

• $\text{CF1096G Lucky Tickets}$

  • 算法：$\text{NTT}$

题目：

一个 $n$ 位数，每位可以是给出的 $k$ 个数码中的一个数，可以有前导$0$，输出前 $n/2$ 位之和与后 $n/2$ 之和相等的方案数，保证 $n$ 是偶数。

输入的第一行是两个整数 $n,k$，接下来的一行有 $k$ 个数$d_1,d_2,\cdots,d_k(0\leq d_i\leq 9)$

输出一个数，为方案数模 $998244353$ 的值。

$2≤n≤2⋅10 ^5,1≤k≤10$

题解：

设 $f_{i,j}$ 表示 $i$ 个数的和是 $j$ 的方案数。

答案即为

$$\sum_k{(f_{ \frac{n}{2},k})^2}$$

考虑 $f$。显然有转移

$$f_{x+1,k}=\sum_{i=0}^9 f_{x,k-i}$$

然后老套路，反转 $f$，设为 $g$。

$$\therefore f_{x+1,k}=\sum_{i=0}^{\min (k,9)}f_{x,i}\ g_{x,k-i}$$

比较容易发现没有字符集限制的情况下 $G=1$

有限制的时候 $g=\sum\limits_{i=0}^9{a_ix^i}$，$a_i$ 表示 $i$ 是否在允许的字符集中，$x$ 没有实际意义

所以要做的就是求出 $g\left( x \right) ^{\frac{n}{2}}$ 然后统计每一项系数的平方和