【做题记录】CF528D Fuzzy Search

• \(\text{CF528D Fuzzy Search}\)
  • 算法：\(\text{FFT}\)

题目：

有一个长度为 \(n\) 的串 \(S\)，以及长度为 \(m\) 的串 \(T\)。

现给定一个数 \(k\) ，我们说 \(T\) 在 \(S\) 的位置 \(i\) 匹配上，当且仅当对于每一个 \(1\le a\le m\) ，都有一个位置 \(1\le b\le n\) 满足 \(|(i+a-1)-b|\le k\) ，且 \(S_b=T_a\) 。

请回答 \(T\) 在 \(S\) 中匹配上了多少个不同的位置。

\(n,m,k\le2*10^5\)

题解：

记 \(p_{i,ch}\) 表示位置 \(i\) 上放上字符 \(ch\) 是否合法。\(p_{i,ch}=1\) 当且仅当存在 \(s_j=ch\) 且 \(|i-j|\leq k\)。

求 \(p_{i,ch}\) ，对于 \(s_i=c\) 将 \(p_{i-k,ch},p_{i-k+1,ch},\dots,p_{i+k-1,ch},p_{i+k,ch}\) 设为 \(1\)，差分就行了。

设 \(f_i\) 表示以 \(i\) 开头的长度为 \(|T|\) 字符串能与 \(T\) 成功匹配多少位。

\[f_i=\sum\limits_{j=1}^{|T|}p_{i+j-1,t_j} \]

枚举每个字符 \(ch\in\{\text{ACTG}\}\)，设 \(flag_j\) 表示 \(T_j\) 是否等于 \(ch\)。那么字符 \(ch\) 给 \(f_i\) 带来的贡献就是

\[f_i=\sum\limits_{j=1}^{|T|}p_{i+j-1,ch}\times flag_j \]

那么原式即为

\[ans=\sum\limits_{x-y=i}f_xflag_y \]

将 \(S\) 翻转一下，得

\[ans=\sum\limits_{x+y=i}f_xflag_y \]

用 \(\text{FFT}\) 一卷即可。