【做题记录】CF528D Fuzzy Search

• $\text{CF528D Fuzzy Search}$
  • 算法：$\text{FFT}$

题目：

有一个长度为 $n$ 的串 $S$，以及长度为 $m$ 的串 $T$。

现给定一个数 $k$ ，我们说 $T$ 在 $S$ 的位置 $i$ 匹配上，当且仅当对于每一个 $1\le a\le m$ ，都有一个位置 $1\le b\le n$ 满足 $|(i+a-1)-b|\le k$ ，且 $S_b=T_a$ 。

请回答 $T$ 在 $S$ 中匹配上了多少个不同的位置。

$n,m,k\le2*10^5$

题解：

记 $p_{i,ch}$ 表示位置 $i$ 上放上字符 $ch$ 是否合法。$p_{i,ch}=1$ 当且仅当存在 $s_j=ch$ 且 $|i-j|\leq k$。

求 $p_{i,ch}$ ，对于 $s_i=c$ 将 $p_{i-k,ch},p_{i-k+1,ch},\dots,p_{i+k-1,ch},p_{i+k,ch}$ 设为 $1$，差分就行了。

设 $f_i$ 表示以 $i$ 开头的长度为 $|T|$ 字符串能与 $T$ 成功匹配多少位。

$$f_i=\sum\limits_{j=1}^{|T|}p_{i+j-1,t_j}$$

枚举每个字符 $ch\in\{\text{ACTG}\}$，设 $flag_j$ 表示 $T_j$ 是否等于 $ch$。那么字符 $ch$ 给 $f_i$ 带来的贡献就是

$$f_i=\sum\limits_{j=1}^{|T|}p_{i+j-1,ch}\times flag_j$$

那么原式即为

$$ans=\sum\limits_{x-y=i}f_xflag_y$$

将 $S$ 翻转一下，得

$$ans=\sum\limits_{x+y=i}f_xflag_y$$

用 $\text{FFT}$ 一卷即可。