【做题记录】TJOI2015 概率论

• 【$\text{TJOI2015}$】概率论

  • 算法：生成函数

题目：

对于一棵随机生成的 $n$ 个结点的有根二叉树（所有互相不同构的形态等概率出现），求它的叶子节点数的期望是多少。

题解：

设 $p(n)$ 表示有 $n$ 个节点的二叉树的个数，显然 $p(0) = 1$。

设 $f(n)$表示 $n$ 个节点的二叉树叶子节点的个数，显然 $f_0 = 0,f_1 = 1$。

那么 $ans = \dfrac{f_i}{p_i}$。

• 对于 $p_i$，由于左右的子树都是二叉树,所以枚举左右子树的点数：

$$p_n = \sum_{i = 0}^{n - 1}p_i p_{n - i - 1}$$

即卡特兰数，通项为 $\dfrac{\begin{pmatrix}2n\\n\end{pmatrix}}{n + 1}$

• 对于 $f_i$，枚举左右子树的大小，由 $p$ 推出，且左右对称所以最后答案 $\times 2$。

$$f_n = 2\sum_{i = 0}^{n - 1}f_i\times p_{n - i - 1}$$

不妨设 $A(x)$ 为 $p$ 的生成函数，$B(x)$为 $f$ 的生成函数。

易知

$$A(x)=xA^2(x) + 1,B(x) = 2xA(x)B(x) + x$$

对于 $A(x)$ 它的封闭形式为 $\dfrac{1\pm\sqrt{1-4x}}{2x}$。（求根公式）

检验，易知 $\dfrac{1+\sqrt{1-4x}}{2x}$ 不行，舍去。

有 $B(x) = x \times (1 - 4x)^{-0.5}$

$$\therefore (xA(x))'=\frac 1{\sqrt{1-4x}}=\dfrac{B(x)}x$$

对 $xA(x)$的每一项求导，

即 $(n + 1)p_nx^n$，

$=\dfrac{f_{n + 1}x^{n + 1}}{x} = f_{n + 1}x^n$

$\therefore f_{n + 1} = (n+1)p_n$

$\therefore f_n=p_{n-1}$

$$\therefore ans=\dfrac{n(n+1)}{2(2n-1)}$$