【做题记录】CEOI2004 Sweet

• $[\text{CEOI2004\ Sweet}]$

  • 算法：生成函数

题目：

有 $n$ 堆糖果。不同的堆里糖果的种类不同（即同一个堆里的糖果种类是相同的，不同的堆里的糖果的种类是不同的）。第 $i$ 个堆里有 $m_i$ 个糖果。现在要吃掉至少 $a$ 个糖果，但不超过 $b$ 个。求有多少种方案。

两种方案不同当且仅当吃的个数不同，或者吃的糖果中，某一种糖果的个数在两个方案中不同。

题解：

每种糖果 $m_{i}$ 个，直接构造每种糖果的生成函数相乘

$$\prod_{i=1}^{n}\frac{1-x^{m_{i}+1}}{1-x}$$

对于答案其实就是 $f(a)-f(b-1)$，

对于分母对 $i$ 次项的贡献是 $\binom{i+n-1}{n-1}$

而分子我们不太好直接求，发现只有 $2^{n}$ 项，于是直接爆搜即可。

分子求出来的第$i$次项的系数我们设为 $p_{i}$。

而在求 $f(m)$ 时，它的答案应该是

$$\sum_{k=0}^{m}p_{k}\sum_{i=0}^{m-k}(C_{i+n-1}^{n-1})$$

发现后面这个东西 $\large\sum\limits_{i=0}^{m-k}\binom{i+n-1}{n-1}$ 是杨辉三角的同一列

稍微画一下即可发现杨辉三角的性质，就可以把这个东西转化为 $\binom{n+m-k}{n}$ 了

于是答案就是 $\large\sum\limits_{k=0}^{m}p_{k}C_{n+m-k}^{n}$

那么搜分子的时候每次统计答案即可。

还有个细节是这题要对 $2004$ 取模，不是质数，所以不能直接逆元。

但是我们在求组合数时要求的是 $\binom{n+m-k}{m}$,也就是$\dfrac{(n+m-k)!}{n!(m-k)!}$

把 $(m-k)!$ 约掉，我们就只用除以 $n!$ 这个东西了，$n$ 非常小，$mod$ 也非常小，那我们直接对 $n!*mod$ 取模就好了，最后返回答案时再除以一个 $n!$ 即可。